Номер 4, страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

$f(x) = \frac{2x-1}{x+1}, x_0 = 1.$

(1) Поскольку условие задачи на изображении приведено не полностью (дана только функция и точка), наиболее вероятным является задание найти уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$. Решим эту задачу.

Дана функция $f(x) = \frac{2x - 1}{x + 1}$ и точка $x_0 = 1$.

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет следующий вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Для нахождения уравнения необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти значение функции в точке $x_0 = 1$, то есть найти ординату точки касания $y_0 = f(x_0)$.

$f(1) = \frac{2 \cdot 1 - 1}{1 + 1} = \frac{2 - 1}{2} = \frac{1}{2}$

Таким образом, точка касания имеет координаты $(1; \frac{1}{2})$.

2. Найти производную функции $f'(x)$. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = 2x - 1$ и $v(x) = x + 1$. Тогда их производные: $u'(x) = 2$ и $v'(x) = 1$.

$f'(x) = \frac{(2x - 1)'(x + 1) - (2x - 1)(x + 1)'}{(x + 1)^2} = \frac{2(x + 1) - (2x - 1) \cdot 1}{(x + 1)^2}$

Раскроем скобки в числителе:

$f'(x) = \frac{2x + 2 - 2x + 1}{(x + 1)^2} = \frac{3}{(x + 1)^2}$

3. Найти значение производной в точке $x_0 = 1$. Это значение является угловым коэффициентом (тангенсом угла наклона) касательной в данной точке, $k = f'(x_0)$.

$k = f'(1) = \frac{3}{(1 + 1)^2} = \frac{3}{2^2} = \frac{3}{4}$

4. Составить уравнение касательной, подставив найденные значения $f(x_0) = \frac{1}{2}$, $f'(x_0) = \frac{3}{4}$ и $x_0 = 1$ в общую формулу уравнения касательной.

$y = \frac{1}{2} + \frac{3}{4}(x - 1)$

Теперь приведем уравнение к стандартному виду $y = kx + b$.

$y = \frac{1}{2} + \frac{3}{4}x - \frac{3}{4}$

$y = \frac{3}{4}x + \frac{2}{4} - \frac{3}{4}$

$y = \frac{3}{4}x - \frac{1}{4}$

Ответ: Уравнение касательной к графику функции $f(x) = \frac{2x - 1}{x + 1}$ в точке $x_0 = 1$ имеет вид $y = \frac{3}{4}x - \frac{1}{4}$.