Номер 5, страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Найти уравнения всех тех касательных к графику функции $y=\frac{x^2+1}{x}$, каждая из которых вместе с осями координат ограничивает треугольник площадью 2.

Для решения задачи найдем общее уравнение касательной к графику функции $y = \frac{x^2+1}{x}$ в произвольной точке с абсциссой $x_0$. Затем определим точки пересечения этой касательной с осями координат и выразим площадь треугольника, который она отсекает от координатных осей. Приравняв эту площадь к 2, мы найдем абсциссы точек касания $x_0$ и, следовательно, уравнения самих касательных.

Сначала преобразуем функцию для удобства дифференцирования: $f(x) = \frac{x^2+1}{x} = x + \frac{1}{x}$. Область определения функции: $x \neq 0$.

Найдем производную функции $f(x)$, которая определяет угловой коэффициент касательной в любой точке:$f'(x) = (x + \frac{1}{x})' = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2-1}{x^2}$.

Уравнение касательной к графику функции в точке $(x_0, f(x_0))$ имеет вид $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$. Подставим выражения для $f(x_0)$ и $f'(x_0)$:$y = \left(\frac{x_0^2+1}{x_0}\right) + \left(\frac{x_0^2-1}{x_0^2}\right)(x - x_0)$.Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить уравнение вида $y = kx+b$:$y = \frac{x_0^2-1}{x_0^2} x + \frac{x_0^2+1}{x_0} - x_0 \cdot \frac{x_0^2-1}{x_0^2}$$y = \frac{x_0^2-1}{x_0^2} x + \frac{x_0^2+1}{x_0} - \frac{x_0^2-1}{x_0}$$y = \frac{x_0^2-1}{x_0^2} x + \frac{(x_0^2+1) - (x_0^2-1)}{x_0}$$y = \frac{x_0^2-1}{x_0^2} x + \frac{2}{x_0}$.

Теперь найдем точки пересечения этой касательной с осями координат.Пересечение с осью Oy (при $x=0$): $y_{int} = \frac{2}{x_0}$.Пересечение с осью Ox (при $y=0$): $0 = \frac{x_0^2-1}{x_0^2} x_{int} + \frac{2}{x_0}$, откуда $x_{int} = -\frac{2/x_0}{(x_0^2-1)/x_0^2} = -\frac{2x_0}{x_0^2-1}$.Для существования невырожденного треугольника необходимо, чтобы $x_{int} \neq 0$ и $y_{int} \neq 0$. Это условие выполняется, если $x_0 \neq 0$ (из области определения) и $x_0^2-1 \neq 0$, то есть $x_0 \neq \pm 1$.

Площадь $S$ прямоугольного треугольника, образованного касательной и осями координат, равна половине произведения длин катетов, которые равны модулям координат пересечения:$S = \frac{1}{2} |x_{int}| \cdot |y_{int}| = \frac{1}{2} \left| -\frac{2x_0}{x_0^2-1} \right| \cdot \left| \frac{2}{x_0} \right| = \frac{1}{2} \cdot \frac{2|x_0|}{|x_0^2-1|} \cdot \frac{2}{|x_0|} = \frac{2}{|x_0^2-1|}$.

По условию задачи, площадь треугольника равна 2, поэтому:$\frac{2}{|x_0^2-1|} = 2$$|x_0^2-1| = 1$.Это уравнение эквивалентно двум уравнениям:1) $x_0^2 - 1 = 1 \implies x_0^2 = 2 \implies x_0 = \sqrt{2}$ или $x_0 = -\sqrt{2}$.2) $x_0^2 - 1 = -1 \implies x_0^2 = 0 \implies x_0 = 0$. Это значение не входит в область определения функции, поэтому оно не является решением.

Мы получили две абсциссы точек касания: $x_{0,1} = \sqrt{2}$ и $x_{0,2} = -\sqrt{2}$. Найдем соответствующие уравнения касательных, подставляя эти значения в общее уравнение $y = \frac{x_0^2-1}{x_0^2} x + \frac{2}{x_0}$.Для $x_0 = \sqrt{2}$:$y = \frac{(\sqrt{2})^2-1}{(\sqrt{2})^2} x + \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} x + \sqrt{2}$.Для $x_0 = -\sqrt{2}$:$y = \frac{(-\sqrt{2})^2-1}{(-\sqrt{2})^2} x + \frac{2}{-\sqrt{2}} = \frac{1}{2} x - \sqrt{2}$.

Ответ: $y = \frac{1}{2}x + \sqrt{2}$ и $y = \frac{1}{2}x - \sqrt{2}$.