Номер 12, страница 63, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

12. (2) Найти решение уравнений:

а) $\frac{x^2 + 1}{x} + \frac{x}{x^2 + 1} = 2,9;$

б) $\frac{2x + 1}{x} + \frac{4x}{2x + 1} = 5.$

а) $\frac{x^2+1}{x} + \frac{x}{x^2+1} = 2,9$

Данное уравнение является дробно-рациональным. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что знаменатели не равны нулю:
1. $x \neq 0$
2. $x^2+1 \neq 0$. Это выражение всегда положительно для любого действительного $x$, так как $x^2 \ge 0$.
Следовательно, ОДЗ: $x \neq 0$.

Заметим, что второе слагаемое является обратным к первому. Сделаем замену переменной.
Пусть $y = \frac{x^2+1}{x}$. Тогда $\frac{x}{x^2+1} = \frac{1}{y}$.
Подставим новую переменную в исходное уравнение:
$y + \frac{1}{y} = 2,9$

Представим $2,9$ в виде обыкновенной дроби: $2,9 = \frac{29}{10}$.
$y + \frac{1}{y} = \frac{29}{10}$
Умножим обе части уравнения на $10y$ (при условии, что $y \neq 0$), чтобы избавиться от знаменателей:
$10y^2 + 10 = 29y$
Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$10y^2 - 29y + 10 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-29)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 10 = 841 - 400 = 441 = 21^2$
Найдем корни $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$y_1 = \frac{29 + 21}{2 \cdot 10} = \frac{50}{20} = \frac{5}{2} = 2,5$
$y_2 = \frac{29 - 21}{2 \cdot 10} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5} = 0,4$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.
Случай 1: $y = 2,5$
$\frac{x^2+1}{x} = 2,5$
$\frac{x^2+1}{x} = \frac{5}{2}$
$2(x^2+1) = 5x$
$2x^2 + 2 = 5x$
$2x^2 - 5x + 2 = 0$
Решаем полученное квадратное уравнение:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$
$x_1 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$
$x_2 = \frac{5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0,5$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$).

Случай 2: $y = 0,4$
$\frac{x^2+1}{x} = 0,4$
$\frac{x^2+1}{x} = \frac{2}{5}$
$5(x^2+1) = 2x$
$5x^2 + 5 = 2x$
$5x^2 - 2x + 5 = 0$
Решаем полученное квадратное уравнение:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 4 - 100 = -96$
Так как $D < 0$, у этого уравнения нет действительных корней.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются $x=2$ и $x=0,5$.

Ответ: $2; 0,5$.

б) $\frac{2x+1}{x} + \frac{4x}{2x+1} = 5$

Определим ОДЗ уравнения:
1. $x \neq 0$
2. $2x+1 \neq 0 \implies 2x \neq -1 \implies x \neq -0,5$
ОДЗ: $x \neq 0$ и $x \neq -0,5$.

Заметим, что второе слагаемое $\frac{4x}{2x+1}$ можно представить как $4 \cdot \frac{x}{2x+1}$. Сделаем замену переменной.
Пусть $y = \frac{2x+1}{x}$. Тогда $\frac{x}{2x+1} = \frac{1}{y}$, а $\frac{4x}{2x+1} = \frac{4}{y}$.
Подставим новую переменную в уравнение:
$y + \frac{4}{y} = 5$

Умножим обе части уравнения на $y$ (при условии, что $y \neq 0$):
$y^2 + 4 = 5y$
Перенесём все члены в одну сторону:
$y^2 - 5y + 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 5, произведение корней равно 4. Корни легко подбираются: $y_1=1$ и $y_2=4$.
Или решим через дискриминант:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 = 3^2$
$y_1 = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$y_2 = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Теперь выполним обратную замену.
Случай 1: $y = 4$
$\frac{2x+1}{x} = 4$
$2x+1 = 4x$
$1 = 4x - 2x$
$1 = 2x$
$x_1 = \frac{1}{2} = 0,5$
Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

Случай 2: $y = 1$
$\frac{2x+1}{x} = 1$
$2x+1 = x$
$2x - x = -1$
$x_2 = -1$
Этот корень также удовлетворяет ОДЗ.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются $x=0,5$ и $x=-1$.

Ответ: $0,5; -1$.