Номер 11, страница 63, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

11. (2)

Андрей и Белла играют в следующую игру. Они по очереди берут камни из кучи, не меньше 1 и не больше 7 каждый раз. Не разрешается брать столько же камней, сколько взял другой игрок на предыдущем ходе. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. В начале игры в куче было 15 камней. Первым ходит Андрей. Сколько камней он должен взять, делая первый ход, если он хочет наверняка выиграть игру?

Это задача на теорию игр. Решение заключается в поиске выигрышной стратегии для первого игрока (Андрея). Стратегия состоит в том, чтобы после каждого своего хода оставлять противнику (Белле) так называемую "проигрышную позицию". Проигрышная позиция — это такая ситуация, из которой любой ход ведет в выигрышную позицию для другого игрока.

Состояние игры в любой момент определяется не только количеством камней в куче (обозначим N), но и количеством камней, взятых на предыдущем ходе (обозначим k_пред), так как это накладывает ограничение на текущий ход. Таким образом, позицию можно описать парой (N, k_пред).

Андрей выигрывает, если своим первым ходом он сможет создать для Беллы проигрышную позицию. Проанализируем возможные ходы Андрея.

Выигрышный ход для Андрея — взять 2 камня.

В этом случае в куче останется $15 - 2 = 13$ камней, а предыдущий ход равен 2. Белла оказывается в позиции (13, 2). Ей нужно сделать ход, взяв k_Б камней, где $1 \le k_Б \le 7$ и $k_Б \ne 2$. Рассмотрим все возможные ходы Беллы и покажем, что на каждый из них у Андрея есть выигрышный ответ, то есть он может снова оставить Белле проигрышную позицию.

Некоторые ключевые проигрышные позиции (N, k_пред), которые Андрей будет использовать: (0, k) (камней нет, ход сделать нельзя), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 3), (8, 4).

Итак, Белла в позиции (13, 2). Ее возможные ходы:

1. Белла берет 1 камень ($k_Б=1$).
В куче остается $13 - 1 = 12$ камней. Позиция для Андрея — (12, 1).
Андрей может взять 4 камня ($k_А=4$), так как $1 \le 4 \le 7$ и $4 \ne 1$.
В куче остается $12 - 4 = 8$ камней. Позиция для Беллы — (8, 4). Это проигрышная позиция. Любой ход Беллы (она не может взять 4 камня) приведет к тому, что Андрей сможет забрать все оставшиеся камни и выиграть.

2. Белла берет 3 камня ($k_Б=3$).
В куче остается $13 - 3 = 10$ камней. Позиция для Андрея — (10, 3).
Андрей может взять 5 камней ($k_А=5$), так как $1 \le 5 \le 7$ и $5 \ne 3$.
В куче остается $10 - 5 = 5$ камней. Позиция для Беллы — (5, 5). Это проигрышная позиция, так как Белла не может взять 5 камней. Любой ее ход (1, 2, 3 или 4 камня) позволит Андрею забрать оставшиеся камни (4, 3, 2 или 1 соответственно) и выиграть.

3. Белла берет 4 камня ($k_Б=4$).
В куче остается $13 - 4 = 9$ камней. Позиция для Андрея — (9, 4).
Андрей может взять 6 камней ($k_А=6$), так как $1 \le 6 \le 7$ и $6 \ne 4$.
В куче остается $9 - 6 = 3$ камня. Позиция для Беллы — (3, 6).
Белла может взять 1, 2 или 3 камня. Если она возьмет 1 или 2, Андрей заберет остаток. Если она возьмет 3, она оставит 0 камней, но следующая позиция для Андрея будет (0, 3), где он не может сделать ход и, казалось бы, проигрывает. Однако, Андрей может сделать другой ход из позиции (9,4). Андрей может взять 3 камня. Тогда останется 6, позиция (6,3) для Беллы. Это проигрышная позиция для Беллы.

4. Белла берет 5 камней ($k_Б=5$).
В куче остается $13 - 5 = 8$ камней. Позиция для Андрея — (8, 5).
Андрей может взять 4 камня ($k_А=4$), так как $1 \le 4 \le 7$ и $4 \ne 5$.
В куче остается $8 - 4 = 4$ камня. Позиция для Беллы — (4, 4). Это проигрышная позиция.

5. Белла берет 6 камней ($k_Б=6$).
В куче остается $13 - 6 = 7$ камней. Позиция для Андрея — (7, 6).
Андрей может взять 7 камней ($k_А=7$), так как $1 \le 7 \le 7$ и $7 \ne 6$.
В куче остается $7 - 7 = 0$ камней. Андрей выигрывает.

6. Белла берет 7 камней ($k_Б=7$).
В куче остается $13 - 7 = 6$ камней. Позиция для Андрея — (6, 7).
Андрей может взять 3 камня ($k_А=3$), так как $1 \le 3 \le 7$ и $3 \ne 7$.
В куче остается $6 - 3 = 3$ камня. Позиция для Беллы — (3, 3). Это проигрышная позиция.

Таким образом, если Андрей первым ходом возьмет 2 камня, он сможет на любой ход Беллы ответить так, чтобы снова поставить ее в проигрышное положение, что и гарантирует ему победу.

Ответ: 2.