Номер 8, страница 62, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

8. (2)

Человек, рост которого равен 1,8 м, удаляется от источника света, находящегося на высоте 12 м, со скоростью 50 м/мин. С какой скоростью перемещается тень его головы?

Для решения этой задачи воспользуемся геометрическим подходом, основанным на подобии треугольников. Создадим схему ситуации.

Пусть $H$ — высота источника света, а $h$ — рост человека. Согласно условию, $H = 12$ м и $h = 1,8$ м.

Пусть $x$ — это расстояние от человека до точки на земле прямо под источником света. Человек удаляется от источника, значит, это расстояние меняется со временем. Его скорость задана как $\frac{dx}{dt} = 50$ м/мин.

Пусть $s$ — это расстояние от точки на земле под источником света до кончика тени, отбрасываемой головой человека. Скорость, с которой перемещается кончик тени, это $\frac{ds}{dt}$, и именно ее нам нужно найти.

Теперь рассмотрим два прямоугольных треугольника:

1. Большой треугольник, образованный источником света, точкой на земле под ним и кончиком тени. Его катеты равны высоте источника света $H$ и расстоянию $s$.
2. Малый треугольник, образованный головой человека, его ногами и кончиком тени. Его катеты равны росту человека $h$ и длине тени, которая составляет $s - x$.

Эти два треугольника подобны, так как они оба прямоугольные и имеют один общий острый угол (у кончика тени). Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих катетов равно:

$\frac{H}{s} = \frac{h}{s - x}$

Подставим известные значения $H$ и $h$:

$\frac{12}{s} = \frac{1,8}{s - x}$

Теперь решим это уравнение, чтобы выразить $s$ через $x$:

$12 \cdot (s - x) = 1,8 \cdot s$

$12s - 12x = 1,8s$

$12s - 1,8s = 12x$

$10,2s = 12x$

$s = \frac{12}{10,2}x = \frac{120}{102}x = \frac{20}{17}x$

Мы получили зависимость положения кончика тени $s$ от положения человека $x$. Чтобы найти зависимость их скоростей, нужно продифференцировать обе части этого уравнения по времени $t$:

$\frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{20}{17}x\right)$

$\frac{ds}{dt} = \frac{20}{17} \cdot \frac{dx}{dt}$

Теперь подставим известную скорость человека $\frac{dx}{dt} = 50$ м/мин:

$\frac{ds}{dt} = \frac{20}{17} \cdot 50$

$\frac{ds}{dt} = \frac{1000}{17}$ м/мин.

Можно представить этот результат в виде смешанной дроби: $1000 \div 17 = 58$ и $14$ в остатке, то есть $58 \frac{14}{17}$ м/мин.

Ответ: Скорость перемещения тени головы равна $\frac{1000}{17}$ м/мин (или примерно $58,82$ м/мин).