Номер 4, страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Упражнение 4

Найти координаты точек пересечения с осью OX тех касательных к графику функции $y=\frac{x+1}{x-3}$, которые образуют угол $\frac{3\pi}{4}$ с осью OX.

Для решения задачи необходимо выполнить следующие шаги: 1. Найти угловой коэффициент касательных, используя заданный угол наклона. 2. Найти производную данной функции. 3. Приравнять производную к угловому коэффициенту и найти абсциссы точек касания. 4. Найти полные координаты точек касания. 5. Составить уравнения касательных. 6. Найти точки пересечения касательных с осью OX.

1. Нахождение углового коэффициента. Угловой коэффициент $k$ касательной связан с углом ее наклона $\alpha$ к положительному направлению оси OX формулой $k = \tan(\alpha)$. По условию, угол $\alpha = \frac{3\pi}{4}$. Вычислим угловой коэффициент: $k = \tan\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -1$. Таким образом, все искомые касательные имеют угловой коэффициент, равный -1.

2. Нахождение производной функции. Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной в точке касания $x_0$ равно угловому коэффициенту касательной: $k = y'(x_0)$. Найдем производную функции $y = \frac{x+1}{x-3}$, используя правило дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $y' = \frac{(x+1)'(x-3) - (x+1)(x-3)'}{(x-3)^2} = \frac{1 \cdot (x-3) - (x+1) \cdot 1}{(x-3)^2} = \frac{x - 3 - x - 1}{(x-3)^2} = \frac{-4}{(x-3)^2}$.

3. Нахождение абсцисс точек касания. Приравняем значение производной к угловому коэффициенту $k = -1$: $y'(x_0) = -1$ $\frac{-4}{(x_0-3)^2} = -1$ Умножим обе части уравнения на $-(x_0-3)^2$ (при условии, что $x_0 \neq 3$, что выполняется, так как знаменатель не может быть равен нулю): $4 = (x_0-3)^2$ Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два возможных случая: $x_0 - 3 = 2 \implies x_{01} = 5$ $x_0 - 3 = -2 \implies x_{02} = 1$ Таким образом, существуют две точки на графике функции, в которых касательная образует угол $\frac{3\pi}{4}$ с осью OX.

4. Нахождение уравнений касательных. Сначала найдем ординаты точек касания, подставив $x_{01}$ и $x_{02}$ в исходную функцию $y = \frac{x+1}{x-3}$: При $x_{01} = 5$: $y_{01} = \frac{5+1}{5-3} = \frac{6}{2} = 3$. Точка касания $M_1(5, 3)$. При $x_{02} = 1$: $y_{02} = \frac{1+1}{1-3} = \frac{2}{-2} = -1$. Точка касания $M_2(1, -1)$. Теперь составим уравнения касательных, используя формулу $y - y_0 = k(x - x_0)$. Касательная 1 (в точке $M_1(5, 3)$ с $k=-1$): $y - 3 = -1(x-5)$ $y - 3 = -x + 5$ $y = -x + 8$ Касательная 2 (в точке $M_2(1, -1)$ с $k=-1$): $y - (-1) = -1(x-1)$ $y + 1 = -x + 1$ $y = -x$

5. Нахождение точек пересечения с осью OX. Точка пересечения с осью OX имеет координату $y=0$. Подставим это значение в уравнения касательных. Для касательной $y = -x + 8$: $0 = -x + 8$ $x = 8$ Координаты точки пересечения: $(8, 0)$. Для касательной $y = -x$: $0 = -x$ $x = 0$ Координаты точки пересечения: $(0, 0)$.

Ответ: $(8, 0)$, $(0, 0)$.