Номер 7, страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Найти уравнения двух параллельных касательных соответственно к графикам $y=\sin 2x$ и $y=\frac{x^3}{3}+2x^2+6x$.

Условие параллельности двух прямых заключается в равенстве их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$. Таким образом, нам нужно найти такой угловой коэффициент $k$, который может быть одновременно значением производной для обеих функций.

Обозначим данные функции: $f(x) = \sin(2x)$ и $g(x) = \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 6x$.

Найдем их производные:
$f'(x) = (\sin(2x))' = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)$
$g'(x) = (\frac{x^3}{3} + 2x^2 + 6x)' = x^2 + 4x + 6$

Теперь необходимо найти общее значение для $f'(x)$ и $g'(x)$. Для этого исследуем области значений каждой производной.

Область значений функции $f'(x) = 2\cos(2x)$ определяется областью значений косинуса. Так как $-1 \le \cos(2x) \le 1$, то $-2 \le 2\cos(2x) \le 2$. Следовательно, угловой коэффициент касательной к графику $y=\sin(2x)$ может принимать значения из отрезка $E(f') = [-2, 2]$.

Функция $g'(x) = x^2 + 4x + 6$ является квадратичной. Ее график — парабола с ветвями, направленными вверх. Наименьшее значение она принимает в вершине. Найдем координаты вершины:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.
Минимальное значение производной $g'(x)$ равно $g'(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 6 = 4 - 8 + 6 = 2$.
Следовательно, угловой коэффициент касательной к графику $y=\frac{x^3}{3} + 2x^2 + 6x$ может принимать значения из промежутка $E(g') = [2, +\infty)$.

Общий угловой коэффициент $k$ должен принадлежать пересечению областей значений $E(f')$ и $E(g')$. Единственным общим значением является $k=2$.

Теперь найдем уравнения касательных с этим угловым коэффициентом. Уравнение касательной в точке $(x_0, y_0)$ имеет вид $y - y_0 = k(x - x_0)$.

Для функции $f(x) = \sin(2x)$, найдем точку касания $(x_1, y_1)$, где $f'(x_1) = 2$:
$2\cos(2x_1) = 2 \implies \cos(2x_1) = 1$.
$2x_1 = 2\pi n \implies x_1 = \pi n$, где $n$ — целое число.
Для простоты выберем $n=0$, тогда $x_1 = 0$. Соответствующая ордината $y_1 = f(0) = \sin(0) = 0$.
Точка касания — $(0, 0)$. Уравнение первой касательной: $y - 0 = 2(x - 0) \implies y = 2x$.

Для функции $g(x) = \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 6x$, найдем точку касания $(x_2, y_2)$, где $g'(x_2) = 2$:
$x_2^2 + 4x_2 + 6 = 2 \implies x_2^2 + 4x_2 + 4 = 0 \implies (x_2 + 2)^2 = 0 \implies x_2 = -2$.
Соответствующая ордината $y_2 = g(-2) = \frac{(-2)^3}{3} + 2(-2)^2 + 6(-2) = -\frac{8}{3} + 8 - 12 = -\frac{8}{3} - 4 = -\frac{20}{3}$.
Точка касания — $(-2, -\frac{20}{3})$. Уравнение второй касательной: $y - (-\frac{20}{3}) = 2(x - (-2)) \implies y + \frac{20}{3} = 2x + 4 \implies y = 2x + 4 - \frac{20}{3} \implies y = 2x - \frac{8}{3}$.

Ответ: $y = 2x$ и $y = 2x - \frac{8}{3}$.