Номер 5, страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

5.

(1) $f(x)=x^4-7x^3+12x-45, x_0=0.$

(1) Задача заключается в том, чтобы разложить функцию $f(x) = x^4 - 7x^3 + 12x - 45$ в ряд Тейлора в окрестности точки $x_0 = 0$. Разложение в ряд в окрестности точки $x_0=0$ является частным случаем ряда Тейлора и называется рядом Маклорена.

Общая формула ряда Тейлора для функции $f(x)$ в окрестности точки $x_0$ имеет вид:

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n = f(x_0) + \frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \dots$

Для данной задачи $x_0 = 0$, поэтому мы используем формулу ряда Маклорена:

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n = f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dots$

Для нахождения коэффициентов ряда необходимо последовательно вычислить производные функции $f(x)$ и их значения в точке $x_0=0$.

Исходная функция:

$f(x) = x^4 - 7x^3 + 12x - 45$

Найдем значение функции и ее производных в точке $x_0=0$:

Значение функции (нулевая производная):

$f(0) = 0^4 - 7(0)^3 + 12(0) - 45 = -45$

Первая производная:

$f'(x) = 4x^3 - 21x^2 + 12$

$f'(0) = 4(0)^3 - 21(0)^2 + 12 = 12$

Вторая производная:

$f''(x) = 12x^2 - 42x$

$f''(0) = 12(0)^2 - 42(0) = 0$

Третья производная:

$f'''(x) = 24x - 42$

$f'''(0) = 24(0) - 42 = -42$

Четвертая производная:

$f^{(4)}(x) = 24$

$f^{(4)}(0) = 24$

Пятая производная и все последующие производные равны нулю, так как четвертая производная является константой:

$f^{(n)}(x) = 0$ для $n \ge 5$, следовательно, $f^{(n)}(0) = 0$ для $n \ge 5$.

Теперь подставим найденные значения в формулу ряда Маклорена. Поскольку все производные порядка выше 4 равны нулю, ряд будет конечным:

$f(x) = f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4$

$f(x) = -45 + \frac{12}{1}x + \frac{0}{2!}x^2 + \frac{-42}{3!}x^3 + \frac{24}{4!}x^4$

Вычислим значения факториалов: $1!=1$, $2!=2$, $3!=6$, $4!=24$.

$f(x) = -45 + 12x + \frac{0}{2}x^2 - \frac{42}{6}x^3 + \frac{24}{24}x^4$

$f(x) = -45 + 12x + 0 \cdot x^2 - 7x^3 + 1 \cdot x^4$

Запишем итоговый многочлен в стандартном виде, упорядочив члены по убыванию степеней $x$:

$f(x) = x^4 - 7x^3 + 12x - 45$

Результат совпадает с исходной функцией. Это ожидаемо, так как ряд Маклорена для любого многочлена является самим этим многочленом.

Ответ: Разложением функции $f(x) = x^4 - 7x^3 + 12x - 45$ в ряд Тейлора в окрестности точки $x_0=0$ является сама эта функция: $f(x) = x^4 - 7x^3 + 12x - 45$.