Номер 8, страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

8. (1)

$f(x)=\sin(x+\pi)+1,x_0=\frac{\pi}{4}$

(1) Для того чтобы найти уравнение касательной к графику функции $f(x) = \sin(x + \pi) + 1$ в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$, мы будем использовать общую формулу уравнения касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
Решение состоит из нескольких шагов:

1. Нахождение значения функции в точке $x_0$.
Подставим $x_0 = \frac{\pi}{4}$ в уравнение функции:
$f(x_0) = f(\frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4} + \pi) + 1$.
Воспользуемся формулой приведения $\sin(\alpha + \pi) = -\sin(\alpha)$.
$f(\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) + 1$.
Так как $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:
$f(\frac{\pi}{4}) = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$.

2. Нахождение производной функции $f(x)$.
Сначала можно упростить исходную функцию, используя ту же формулу приведения:
$f(x) = \sin(x + \pi) + 1 = -\sin(x) + 1$.
Теперь найдем производную от упрощенной функции:
$f'(x) = (-\sin(x) + 1)' = -(\sin(x))' + (1)' = -\cos(x) + 0 = -\cos(x)$.

3. Нахождение значения производной в точке $x_0$.
Значение производной в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту касательной в этой точке. Подставим $x_0 = \frac{\pi}{4}$ в выражение для производной:
$f'(x_0) = f'(\frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4})$.
Так как $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:
$f'(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

4. Составление уравнения касательной.
Теперь подставим все найденные значения: $x_0 = \frac{\pi}{4}$, $f(x_0) = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $f'(x_0) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ в общую формулу уравнения касательной:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$
$y = (1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) + (-\frac{\sqrt{2}}{2})(x - \frac{\pi}{4})$.
Раскроем скобки, чтобы получить окончательный вид уравнения:
$y = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\pi}{4}$
$y = -\frac{\sqrt{2}}{2}x + 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\pi\sqrt{2}}{8}$.

Ответ: $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}x + 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\pi\sqrt{2}}{8}$.