Номер 13, страница 71, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

13. (2)

$y=2-x-x^2$.

Проведем полное исследование функции $y = 2 - x - x^2$ и построим ее график.

1. Область определения функции

Функция $y = 2 - x - x^2$ является квадратичной (многочленом). Область определения многочлена — все действительные числа.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат

С осью Oy:
Для нахождения точки пересечения с осью ординат (Oy) подставим $x = 0$ в уравнение функции:
$y(0) = 2 - 0 - 0^2 = 2$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0, 2)$.

С осью Ox:
Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс (Ox) приравняем функцию к нулю: $y = 0$.
$2 - x - x^2 = 0$
Умножим обе части на -1 для удобства:
$x^2 + x - 2 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$ или по теореме Виета.
Дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 3}{2}$.
$x_1 = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.
$x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
Точки пересечения с осью Ox: $(-2, 0)$ и $(1, 0)$.

Ответ: Точка пересечения с Oy: $(0, 2)$. Точки пересечения с Ox: $(-2, 0)$ и $(1, 0)$.

3. Четность и периодичность

Проверим функцию на четность. Для этого найдем $y(-x)$: $y(-x) = 2 - (-x) - (-x)^2 = 2 + x - x^2$.
Сравним с $y(x) = 2 - x - x^2$ и $-y(x) = -(2 - x - x^2) = -2 + x + x^2$.
Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной. Функция является функцией общего вида.
Функция не является периодической.

Ответ: Функция общего вида, непериодическая.

4. Промежутки монотонности и точки экстремума

Найдем первую производную функции:
$y' = (2 - x - x^2)' = -1 - 2x$.
Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
$-1 - 2x = 0$
$2x = -1$
$x = -0.5$.
Это единственная критическая точка. Определим знаки производной на интервалах, на которые эта точка разбивает область определения: $(-\infty; -0.5)$ и $(-0.5; +\infty)$.
При $x \in (-\infty; -0.5)$, например, $x = -1$: $y'(-1) = -1 - 2(-1) = 1 > 0$. Следовательно, на этом интервале функция возрастает.
При $x \in (-0.5; +\infty)$, например, $x = 0$: $y'(0) = -1 - 2(0) = -1 < 0$. Следовательно, на этом интервале функция убывает.
В точке $x = -0.5$ производная меняет знак с «+» на «−», значит, это точка максимума.
Найдем значение функции в этой точке:
$y_{max} = y(-0.5) = 2 - (-0.5) - (-0.5)^2 = 2 + 0.5 - 0.25 = 2.25$.
Точка максимума: $(-0.5, 2.25)$.

Ответ: Функция возрастает на $(-\infty; -0.5]$ и убывает на $[-0.5; +\infty)$. Точка максимума: $(-0.5, 2.25)$.

5. Промежутки выпуклости и точки перегиба

Найдем вторую производную функции:
$y'' = (y')' = (-1 - 2x)' = -2$.
Так как $y'' = -2 < 0$ для всех значений $x$, график функции является выпуклым вверх (вогнутым) на всей области определения.
Точек перегиба нет, так как вторая производная не меняет знак.

Ответ: График функции выпуклый вверх на $(-\infty; +\infty)$. Точек перегиба нет.

6. Построение графика

Графиком функции $y = 2 - x - x^2$ является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен -1 (отрицательный), значит, ветви параболы направлены вниз.
Вершина параболы находится в точке максимума $(-0.5, 2.25)$.
Используя все полученные данные (точки пересечения с осями, вершину), можно построить график. Основные точки:

• Вершина: $(-0.5, 2.25)$
• Пересечение с Oy: $(0, 2)$
• Пересечение с Ox: $(-2, 0)$ и $(1, 0)$
• Симметричная точке $(0, 2)$ относительно оси параболы $x = -0.5$ точка: $(-1, 2)$

Соберем данные в таблицу для построения:

Ответ: Графиком является парабола с вершиной в точке $(-0.5, 2.25)$, ветвями, направленными вниз, пересекающая ось Oy в точке $(0, 2)$ и ось Ox в точках $(-2, 0)$ и $(1, 0)$.