Номер 20, страница 71, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

20. (3) На графике функции $y = x(x-4)^3$ найдите точки, в которых касательные параллельны оси абсцисс.

Условие параллельности касательной оси абсцисс (оси $Ox$) заключается в том, что угловой коэффициент касательной равен нулю. Геометрический смысл производной состоит в том, что её значение в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Следовательно, чтобы найти искомые точки, необходимо найти производную функции, приравнять её к нулю и решить полученное уравнение. Найденные корни будут являться абсциссами искомых точек.

Дана функция: $y = x(x-4)^3$.

1. Нахождение производной функции.

Для нахождения производной $y'$ используем правило дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u = x$ и $v = (x-4)^3$.

Найдём производные $u'$ и $v'$:

$u' = (x)' = 1$

Для нахождения $v'$ используем правило дифференцирования сложной функции:

$v' = ((x-4)^3)' = 3(x-4)^{3-1} \cdot (x-4)' = 3(x-4)^2 \cdot 1 = 3(x-4)^2$

Теперь подставим найденные производные в формулу:

$y' = 1 \cdot (x-4)^3 + x \cdot 3(x-4)^2 = (x-4)^3 + 3x(x-4)^2$

Вынесем общий множитель $(x-4)^2$ за скобку для упрощения выражения:

$y' = (x-4)^2 \cdot ((x-4) + 3x) = (x-4)^2 \cdot (4x - 4) = 4(x-1)(x-4)^2$

2. Нахождение абсцисс точек.

Приравняем производную к нулю:

$y' = 0 \implies 4(x-1)(x-4)^2 = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

$x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$

$(x - 4)^2 = 0 \implies x - 4 = 0 \implies x_2 = 4$

3. Нахождение ординат точек.

Подставим найденные значения $x$ в исходное уравнение функции $y = x(x-4)^3$, чтобы найти соответствующие значения $y$.

Для $x_1 = 1$:

$y_1 = 1 \cdot (1 - 4)^3 = 1 \cdot (-3)^3 = -27$

Первая точка: $(1, -27)$.

Для $x_2 = 4$:

$y_2 = 4 \cdot (4 - 4)^3 = 4 \cdot 0^3 = 0$

Вторая точка: $(4, 0)$.

Ответ: Точки, в которых касательные к графику функции параллельны оси абсцисс, имеют координаты $(1, -27)$ и $(4, 0)$.