Номер 25, страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

К графику заданной функции проведите касательную так, чтобы она была параллельна прямой $y=2-x$ (25-26):

25. (2) $y=\frac{x^3}{3}+\frac{5}{2}x^2-x$

25. (2)

Чтобы найти касательную к графику функции $y = \frac{x^3}{3} + \frac{5}{2}x^2 - x$, параллельную прямой $y = 2 - x$, необходимо выполнить следующие действия:

1. Определить требуемый угловой коэффициент касательной. Две прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент прямой $y = 2 - x$ (представимой в виде $y = -1 \cdot x + 2$) равен $k = -1$. Следовательно, угловой коэффициент искомой касательной также должен быть равен -1.

2. Найти производную данной функции. Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной $y'(x_0)$.
$y'(x) = \left(\frac{x^3}{3} + \frac{5}{2}x^2 - x\right)' = \frac{1}{3} \cdot (x^3)' + \frac{5}{2} \cdot (x^2)' - (x)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + \frac{5}{2} \cdot 2x - 1 = x^2 + 5x - 1$.

3. Найти абсциссы точек касания. Для этого нужно решить уравнение $y'(x_0) = k$:
$x_0^2 + 5x_0 - 1 = -1$
$x_0^2 + 5x_0 = 0$
$x_0(x_0 + 5) = 0$
Это уравнение имеет два решения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -5$. Это означает, что существуют две точки на графике функции, в которых касательная параллельна данной прямой.

4. Найти ординаты точек касания. Для этого подставим найденные значения $x_1$ и $x_2$ в исходное уравнение функции $y(x)$:
- Для $x_1 = 0$: $y_1 = \frac{0^3}{3} + \frac{5}{2}(0)^2 - 0 = 0$. Первая точка касания: $(0; 0)$.
- Для $x_2 = -5$: $y_2 = \frac{(-5)^3}{3} + \frac{5}{2}(-5)^2 - (-5) = -\frac{125}{3} + \frac{125}{2} + 5 = \frac{-250 + 375 + 30}{6} = \frac{155}{6}$. Вторая точка касания: $(-5; \frac{155}{6})$.

5. Составить уравнения касательных. Общее уравнение касательной имеет вид $y - y_0 = k(x - x_0)$.
- Для точки $(0; 0)$ и $k=-1$:
$y - 0 = -1(x - 0)$
$y = -x$
- Для точки $(-5; \frac{155}{6})$ и $k=-1$:
$y - \frac{155}{6} = -1(x - (-5))$
$y - \frac{155}{6} = -x - 5$
$y = -x - 5 + \frac{155}{6} = -x - \frac{30}{6} + \frac{155}{6} = -x + \frac{125}{6}$
Ответ: $y = -x$ и $y = -x + \frac{125}{6}$.