Номер 29, страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

29. (3) Найти площадь треугольника, образованного биссектрисами координатных углов и касательной к кривой $y=\sqrt{x^2-5}$ в точке $M(3; 2)$.

Для нахождения площади треугольника необходимо выполнить три шага: найти уравнения прямых, образующих этот треугольник, определить координаты его вершин (точек пересечения этих прямых) и, наконец, вычислить площадь по координатам вершин.

1. Определение уравнений прямых.

Треугольник образован тремя прямыми: двумя биссектрисами координатных углов и касательной к кривой.

а) Биссектрисы координатных углов.
Биссектриса I и III координатных четвертей имеет уравнение $y = x$.
Биссектриса II и IV координатных четвертей имеет уравнение $y = -x$.

б) Касательная к кривой.
Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $(x_0, y_0)$ имеет вид: $y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$.
В данном случае функция $f(x) = \sqrt{x^2 - 5}$, а точка касания $M(3; 2)$.
Сначала найдем производную функции:
$f'(x) = (\sqrt{x^2 - 5})' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 5}} \cdot (x^2 - 5)' = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 - 5}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 5}}$.
Затем вычислим значение производной в точке $x_0 = 3$, чтобы найти угловой коэффициент касательной:
$k = f'(3) = \frac{3}{\sqrt{3^2 - 5}} = \frac{3}{\sqrt{9 - 5}} = \frac{3}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2}$.
Теперь подставим координаты точки $M(3; 2)$ и значение углового коэффициента $k = \frac{3}{2}$ в уравнение касательной:
$y - 2 = \frac{3}{2}(x - 3)$.
Преобразуем уравнение к общему виду:
$2(y - 2) = 3(x - 3)$
$2y - 4 = 3x - 9$
$3x - 2y - 5 = 0$.
Или к виду с угловым коэффициентом: $y = \frac{3}{2}x - \frac{5}{2}$.

2. Нахождение вершин треугольника.

Вершины треугольника являются точками пересечения найденных прямых.

а) Вершина A — точка пересечения биссектрис $y=x$ и $y=-x$.
$x = -x \implies 2x = 0 \implies x=0$. Тогда и $y=0$.
Координаты вершины A: $(0; 0)$.

б) Вершина B — точка пересечения биссектрисы $y=x$ и касательной $y = \frac{3}{2}x - \frac{5}{2}$.
$x = \frac{3}{2}x - \frac{5}{2}$
$2x = 3x - 5$
$x = 5$. Так как $y=x$, то $y=5$.
Координаты вершины B: $(5; 5)$.

в) Вершина C — точка пересечения биссектрисы $y=-x$ и касательной $y = \frac{3}{2}x - \frac{5}{2}$.
$-x = \frac{3}{2}x - \frac{5}{2}$
$-2x = 3x - 5$
$5 = 5x \implies x=1$. Так как $y=-x$, то $y=-1$.
Координаты вершины C: $(1; -1)$.

3. Вычисление площади треугольника.

Площадь треугольника с вершинами в точках $A(x_A, y_A)$, $B(x_B, y_B)$ и $C(x_C, y_C)$ вычисляется по формуле:
$S = \frac{1}{2} |(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (x_C - x_A)(y_B - y_A)|$.
Поскольку вершина A находится в начале координат $(0; 0)$, формула упрощается:
$S = \frac{1}{2} |x_B y_C - x_C y_B|$.
Подставим координаты вершин $B(5; 5)$ и $C(1; -1)$:
$S = \frac{1}{2} |(5)(-1) - (1)(5)| = \frac{1}{2} |-5 - 5| = \frac{1}{2} |-10| = \frac{10}{2} = 5$.

Ответ: 5.