Номер 30, страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

30. (3) К гиперболе $y = \frac{4}{x}$ проведены касательные: одна - в точке $M(2; 2)$, а другая – параллельно прямой $y = -4x$. Найдите площади треугольников, образованных каждой из этих касательных с осями координат.

Для решения задачи найдем уравнения двух указанных касательных к гиперболе $y = \frac{4}{x}$, а затем для каждой из них вычислим площадь треугольника, который она образует с осями координат.

Общее уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Сначала найдем производную функции $f(x) = \frac{4}{x}$:
$f'(x) = \left(\frac{4}{x}\right)' = (4x^{-1})' = -4x^{-2} = -\frac{4}{x^2}$.

касательная в точке M(2; 2)

1. Точка касания задана, ее абсцисса $x_0 = 2$. Значение функции в этой точке $f(2) = \frac{4}{2} = 2$, что соответствует координатам точки M.
2. Найдем угловой коэффициент касательной, который равен значению производной в точке $x_0 = 2$:
$k_1 = f'(2) = -\frac{4}{2^2} = -\frac{4}{4} = -1$.
3. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = f(2) + f'(2)(x - 2)$
$y = 2 + (-1)(x - 2)$
$y = 2 - x + 2$
$y = -x + 4$.
4. Теперь найдем точки пересечения этой касательной с осями координат, чтобы определить катеты треугольника.
При $x = 0$, $y = -0 + 4 = 4$. Точка пересечения с осью Oy: $(0, 4)$.
При $y = 0$, $0 = -x + 4$, откуда $x = 4$. Точка пересечения с осью Ox: $(4, 0)$.
5. Треугольник, образованный касательной и осями координат, — прямоугольный. Длины его катетов равны 4 и 4.
Площадь первого треугольника $S_1$ равна:
$S_1 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8$.

Ответ: 8.

касательная, параллельная прямой y = -4x

1. Если касательная параллельна прямой $y = -4x$, то их угловые коэффициенты равны. Таким образом, угловой коэффициент касательной $k_2 = -4$.
2. Найдем абсциссу точки касания $x_0$, приравняв значение производной к угловому коэффициенту $k_2$:
$f'(x_0) = -4$
$-\frac{4}{x_0^2} = -4$
$x_0^2 = 1$
Отсюда $x_0 = 1$ или $x_0 = -1$.Существуют две касательные, параллельные данной прямой. Площади образованных ими треугольников будут одинаковы, поэтому достаточно рассмотреть один случай, например, $x_0 = 1$.
3. Найдем ординату точки касания: $y_0 = f(1) = \frac{4}{1} = 4$. Точка касания — $(1, 4)$.
4. Составим уравнение касательной:
$y = f(1) + f'(1)(x - 1)$
$y = 4 + (-4)(x - 1)$
$y = 4 - 4x + 4$
$y = -4x + 8$.
5. Найдем точки пересечения этой касательной с осями координат:
При $x = 0$, $y = -4(0) + 8 = 8$. Точка пересечения с осью Oy: $(0, 8)$.
При $y = 0$, $0 = -4x + 8$, откуда $4x = 8$, $x = 2$. Точка пересечения с осью Ox: $(2, 0)$.
6. Треугольник, образованный этой касательной и осями координат, — прямоугольный. Длины его катетов равны 8 и 2.
Площадь второго треугольника $S_2$ равна:
$S_2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 8 = 8$.

Ответ: 8.