Номер 28, страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

28. (3) В точке M(1;8) к кривой $y = \sqrt{(5 - x^{-2/3})^3}$ проведена касательная.

Найдите длину ее отрезка, заключенного между осями координат.

Для того чтобы найти длину отрезка касательной, заключенного между осями координат, сначала необходимо составить уравнение этой касательной. Общий вид уравнения касательной к графику функции $f(x)$ в точке $M(x_0; y_0)$ следующий: $y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$.

В условии задачи дана кривая $y = \sqrt{(5 - x^{2/3})^3}$ и точка касания $M(1; 8)$.

Первым шагом проверим, действительно ли точка $M(1; 8)$ лежит на данной кривой. Для этого подставим координату $x=1$ в уравнение кривой:$y(1) = \sqrt{(5 - 1^{2/3})^3} = \sqrt{(5 - 1)^3} = \sqrt{4^3} = \sqrt{64} = 8$.Поскольку вычисленное значение совпадает с координатой $y$ точки $M$, точка принадлежит кривой.

Вторым шагом найдем производную функции $y(x)$. Удобнее представить функцию в виде степени: $y = (5 - x^{2/3})^{3/2}$.Используем правило дифференцирования сложной функции:$y' = \frac{3}{2}(5 - x^{2/3})^{\frac{3}{2}-1} \cdot (5 - x^{2/3})' = \frac{3}{2}(5 - x^{2/3})^{\frac{1}{2}} \cdot (-\frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1}) = -(5 - x^{2/3})^{\frac{1}{2}} \cdot x^{-\frac{1}{3}}$.Таким образом, производная равна $y' = -\frac{\sqrt{5 - x^{2/3}}}{\sqrt[3]{x}}$.

Теперь вычислим значение производной в точке касания $x_0 = 1$. Это значение будет равно угловому коэффициенту $k$ касательной.$k = y'(1) = -\frac{\sqrt{5 - 1^{2/3}}}{\sqrt[3]{1}} = -\frac{\sqrt{5 - 1}}{1} = -\sqrt{4} = -2$.

Подставим координаты точки $M(1; 8)$ и найденный угловой коэффициент $k=-2$ в общее уравнение касательной:$y - 8 = -2(x - 1)$
$y - 8 = -2x + 2$
$y = -2x + 10$.

Далее найдем точки пересечения этой касательной с осями координат.Для нахождения точки пересечения с осью ординат (OY), положим $x=0$:$y = -2(0) + 10 = 10$.Точка пересечения с осью OY имеет координаты $A(0; 10)$.

Для нахождения точки пересечения с осью абсцисс (OX), положим $y=0$:$0 = -2x + 10$
$2x = 10$
$x = 5$.Точка пересечения с осью OX имеет координаты $B(5; 0)$.

Наконец, найдем длину отрезка $AB$, используя формулу расстояния между двумя точками $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$:$L = \sqrt{(5 - 0)^2 + (0 - 10)^2} = \sqrt{5^2 + (-10)^2} = \sqrt{25 + 100} = \sqrt{125}$.Упростим результат: $\sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = 5\sqrt{5}$.

Ответ: $5\sqrt{5}$.