Номер 21, страница 71, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

21. (3) Покажите, что касательные, проведенные к графику функции $y = \frac{x-4}{x-2}$ в точках его пересечения с осями координат, параллельны.

Для того чтобы доказать, что касательные, проведенные к графику функции в точках его пересечения с осями координат, параллельны, необходимо найти угловые коэффициенты этих касательных. Если угловые коэффициенты равны, то прямые параллельны. Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = y'(x_0)$.

1. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.

Найдем точку пересечения с осью ординат (Oy), подставив $x=0$ в уравнение функции:

$y(0) = \frac{0-4}{0-2} = \frac{-4}{-2} = 2$

Следовательно, первая точка пересечения (и первая точка касания) — $A(0, 2)$.

Найдем точку пересечения с осью абсцисс (Ox), приравняв функцию к нулю ($y=0$):

$\frac{x-4}{x-2} = 0$

Данное равенство выполняется, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$x-4 = 0 \implies x=4$

Проверим знаменатель при $x=4$: $4-2 = 2 \neq 0$. Условие выполняется.

Следовательно, вторая точка пересечения (и вторая точка касания) — $B(4, 0)$.

2. Найдем производную функции.

Для нахождения производной функции $y=\frac{x-4}{x-2}$ используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u = x-4$ и $v = x-2$. Тогда их производные равны $u'=1$ и $v'=1$.

$y' = \frac{(x-4)'(x-2) - (x-4)(x-2)'}{(x-2)^2} = \frac{1 \cdot (x-2) - (x-4) \cdot 1}{(x-2)^2}$

$y' = \frac{x - 2 - x + 4}{(x-2)^2} = \frac{2}{(x-2)^2}$

3. Вычислим угловые коэффициенты касательных в найденных точках.

Угловой коэффициент $k_1$ касательной в точке $A(0, 2)$ равен значению производной при $x=0$:

$k_1 = y'(0) = \frac{2}{(0-2)^2} = \frac{2}{(-2)^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Угловой коэффициент $k_2$ касательной в точке $B(4, 0)$ равен значению производной при $x=4$:

$k_2 = y'(4) = \frac{2}{(4-2)^2} = \frac{2}{2^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

4. Сравним угловые коэффициенты.

Мы получили, что угловые коэффициенты касательных в точках $A$ и $B$ равны между собой: $k_1 = k_2 = \frac{1}{2}$.

Так как угловые коэффициенты касательных равны, то касательные, проведенные к графику функции в точках его пересечения с осями координат, параллельны.

Ответ: Угловые коэффициенты касательных в точках пересечения графика с осями координат равны $k_1 = k_2 = \frac{1}{2}$, что доказывает их параллельность.