Номер 23, страница 71, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

23. (3) Вычислите координаты точек пересечения с осью Oy тех касательных к графику функции $y = \frac{x+4}{x-5}$, которые образуют угол $135^\circ$ с осью Ox.

Угловой коэффициент $k$ касательной равен тангенсу угла, который касательная образует с положительным направлением оси $Ox$. Согласно условию, этот угол составляет $135^{\circ}$.
$k = \tan(135^{\circ}) = -1$.

Значение производной функции в точке касания $x_0$ равно угловому коэффициенту касательной: $y'(x_0) = k$.
Найдем производную функции $y = \frac{x+4}{x-5}$, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$y' = \frac{(x+4)'(x-5) - (x+4)(x-5)'}{(x-5)^2} = \frac{1 \cdot (x-5) - (x+4) \cdot 1}{(x-5)^2} = \frac{x-5-x-4}{(x-5)^2} = \frac{-9}{(x-5)^2}$.

Приравняем производную к угловому коэффициенту $k=-1$, чтобы найти абсциссы $x_0$ точек касания:
$\frac{-9}{(x_0-5)^2} = -1$
$(x_0-5)^2 = 9$
Это уравнение имеет два решения:
$x_0-5 = 3 \implies x_0 = 8$
$x_0-5 = -3 \implies x_0 = 2$.
Следовательно, существуют две касательные, удовлетворяющие условию задачи.

Теперь найдем уравнения этих касательных, используя формулу $y = y(x_0) + y'(x_0)(x - x_0)$.
Первая касательная (в точке с абсциссой $x_0 = 2$):
Найдем ординату точки касания: $y(2) = \frac{2+4}{2-5} = \frac{6}{-3} = -2$.
Уравнение касательной: $y = -2 + (-1)(x - 2) \implies y = -2 - x + 2 \implies y = -x$.
Вторая касательная (в точке с абсциссой $x_0 = 8$):
Найдем ординату точки касания: $y(8) = \frac{8+4}{8-5} = \frac{12}{3} = 4$.
Уравнение касательной: $y = 4 + (-1)(x - 8) \implies y = 4 - x + 8 \implies y = -x + 12$.

Для нахождения координат точек пересечения касательных с осью $Oy$, подставим $x=0$ в их уравнения.
Для касательной $y = -x$: при $x=0$, $y=0$. Координаты точки пересечения: $(0, 0)$.
Для касательной $y = -x + 12$: при $x=0$, $y=12$. Координаты точки пересечения: $(0, 12)$.

Ответ: $(0, 0)$ и $(0, 12)$.