Номер 32, страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

32. (3) Найдите координаты точки пересечения двух касательных, проведенных к графику функции $y=\frac{3x+1}{2x-1}$: первая в точке на графике с абсциссой $x=-1$, а вторая - в точке с абсциссой $x=3$.

Для нахождения координат точки пересечения двух касательных необходимо сначала найти уравнения этих касательных. Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет общий вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Дана функция $f(x) = \frac{3x+1}{2x-1}$.

Сначала найдем ее производную, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:$f'(x) = \frac{(3x+1)'(2x-1) - (3x+1)(2x-1)'}{(2x-1)^2} = \frac{3(2x-1) - (3x+1) \cdot 2}{(2x-1)^2} = \frac{6x-3 - 6x-2}{(2x-1)^2} = \frac{-5}{(2x-1)^2}$.

Уравнение первой касательной в точке с абсциссой $x_0 = -1$

Найдем значение функции в этой точке:$f(-1) = \frac{3(-1)+1}{2(-1)-1} = \frac{-3+1}{-2-1} = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3}$.

Найдем значение производной (угловой коэффициент касательной) в этой точке:$f'(-1) = \frac{-5}{(2(-1)-1)^2} = \frac{-5}{(-3)^2} = -\frac{5}{9}$.

Теперь составим уравнение первой касательной:$y = f(-1) + f'(-1)(x - (-1))$$y = \frac{2}{3} - \frac{5}{9}(x+1)$$y = \frac{2}{3} - \frac{5}{9}x - \frac{5}{9}$$y = -\frac{5}{9}x + \frac{6-5}{9}$$y_1 = -\frac{5}{9}x + \frac{1}{9}$.

Уравнение второй касательной в точке с абсциссой $x_0 = 3$

Найдем значение функции в этой точке:$f(3) = \frac{3(3)+1}{2(3)-1} = \frac{9+1}{6-1} = \frac{10}{5} = 2$.

Найдем значение производной в этой точке:$f'(3) = \frac{-5}{(2(3)-1)^2} = \frac{-5}{(5)^2} = \frac{-5}{25} = -\frac{1}{5}$.

Теперь составим уравнение второй касательной:$y = f(3) + f'(3)(x - 3)$$y = 2 - \frac{1}{5}(x-3)$$y = 2 - \frac{1}{5}x + \frac{3}{5}$$y = -\frac{1}{5}x + \frac{10}{5} + \frac{3}{5}$$y_2 = -\frac{1}{5}x + \frac{13}{5}$.

Координаты точки пересечения касательных

Чтобы найти точку пересечения, приравняем правые части уравнений касательных $y_1$ и $y_2$:$-\frac{5}{9}x + \frac{1}{9} = -\frac{1}{5}x + \frac{13}{5}$.

Для избавления от дробей умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 9 и 5, то есть на 45:$45 \cdot (-\frac{5}{9}x + \frac{1}{9}) = 45 \cdot (-\frac{1}{5}x + \frac{13}{5})$$5 \cdot (-5x) + 5 \cdot 1 = 9 \cdot (-x) + 9 \cdot 13$$-25x + 5 = -9x + 117$.

Решим полученное линейное уравнение относительно $x$:$25x - 9x = 5 - 117$$16x = -112$$x = \frac{-112}{16} = -7$.

Теперь найдем координату $y$, подставив $x = -7$ в уравнение любой из касательных, например, в первое:$y = -\frac{5}{9}(-7) + \frac{1}{9} = \frac{35}{9} + \frac{1}{9} = \frac{36}{9} = 4$.

Таким образом, точка пересечения двух касательных имеет координаты $(-7, 4)$.

Ответ: $(-7, 4)$.