Номер 37, страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

37. (1) $f(x) = \sqrt{x+1}$, $x_0 = 4$.

(1)

В данной задаче требуется найти уравнение касательной к графику функции $f(x) = \sqrt{x+1}$ в точке с абсциссой $x_0 = 4$.

Общее уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Для нахождения уравнения выполним следующие действия:

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 4$:

$f(x_0) = f(4) = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$

Таким образом, касательная проходит через точку с координатами $(4, \sqrt{5})$.

2. Найдем производную функции $f(x)$. Функцию можно представить в виде $f(x) = (x+1)^{\frac{1}{2}}$.

Используя правило дифференцирования степенной функции и сложной функции, получаем:

$f'(x) = (\sqrt{x+1})' = ((x+1)^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2}(x+1)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (x+1)' = \frac{1}{2}(x+1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 1 = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}$

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 4$. Это значение является угловым коэффициентом $k$ касательной.

$k = f'(x_0) = f'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4+1}} = \frac{1}{2\sqrt{5}}$

4. Теперь подставим найденные значения $x_0 = 4$, $f(x_0) = \sqrt{5}$ и $f'(x_0) = \frac{1}{2\sqrt{5}}$ в общую формулу уравнения касательной:

$y = \sqrt{5} + \frac{1}{2\sqrt{5}}(x - 4)$

5. Упростим полученное уравнение, чтобы привести его к стандартному виду $y = kx + b$.

$y = \sqrt{5} + \frac{x}{2\sqrt{5}} - \frac{4}{2\sqrt{5}} = \sqrt{5} + \frac{x}{2\sqrt{5}} - \frac{2}{\sqrt{5}}$

Сгруппируем слагаемые:

$y = \frac{x}{2\sqrt{5}} + \left(\sqrt{5} - \frac{2}{\sqrt{5}}\right)$

Приведем свободные члены к общему знаменателю:

$\sqrt{5} - \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{5})^2}{\sqrt{5}} - \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{5 - 2}{\sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}}$

Итак, уравнение касательной:

$y = \frac{x}{2\sqrt{5}} + \frac{3}{\sqrt{5}}$

Для более стандартной формы записи избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель дробей на $\sqrt{5}$:

$y = \frac{x \cdot \sqrt{5}}{2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} + \frac{3 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{2 \cdot 5}x + \frac{3\sqrt{5}}{5} = \frac{\sqrt{5}}{10}x + \frac{3\sqrt{5}}{5}$

Ответ: $y = \frac{\sqrt{5}}{10}x + \frac{3\sqrt{5}}{5}$