Номер 43, страница 73, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

43. (2) $f(x) = \frac{4}{\sqrt{3}}x - \frac{\sqrt{3}}{3}x^3$, $\alpha=30^\circ$.

(2)

Задача заключается в нахождении координат точек на графике функции $f(x)$, в которых касательная образует угол $\alpha = 30^\circ$ с положительным направлением оси абсцисс.

Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции в точке $x_0$, то есть $f'(x_0)$, равно угловому коэффициенту $k$ касательной к графику функции в этой точке. Угловой коэффициент $k$, в свою очередь, связан с углом наклона $\alpha$ касательной к оси Ox соотношением $k = \tan\alpha$.

1. Найдем угловой коэффициент касательной $k$.
По условию, угол наклона $\alpha = 30^\circ$.
$k = \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

2. Найдем производную функции $f(x) = \frac{4}{\sqrt{3}}x - \frac{\sqrt{3}}{3}x^3$.
$f'(x) = \left(\frac{4}{\sqrt{3}}x - \frac{\sqrt{3}}{3}x^3\right)' = \left(\frac{4}{\sqrt{3}}x\right)' - \left(\frac{\sqrt{3}}{3}x^3\right)'$.
Используя правила дифференцирования, получаем:
$f'(x) = \frac{4}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 3x^2 = \frac{4}{\sqrt{3}} - \sqrt{3}x^2$.

3. Приравняем значение производной в точке $x_0$ к найденному угловому коэффициенту $k$, чтобы найти абсциссы искомых точек.
$f'(x_0) = k$
$\frac{4}{\sqrt{3}} - \sqrt{3}x_0^2 = \frac{1}{\sqrt{3}}$
$\sqrt{3}x_0^2 = \frac{4}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}}$
$\sqrt{3}x_0^2 = \frac{3}{\sqrt{3}}$
Так как $\frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{3})^2}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$, получаем:
$\sqrt{3}x_0^2 = \sqrt{3}$
$x_0^2 = 1$
Отсюда следует, что есть две абсциссы: $x_{0_1} = 1$ и $x_{0_2} = -1$.

4. Найдем соответствующие ординаты точек касания $y_0 = f(x_0)$, подставив найденные значения $x_0$ в исходное уравнение функции.
Для $x_0 = 1$:
$y_0 = f(1) = \frac{4}{\sqrt{3}}(1) - \frac{\sqrt{3}}{3}(1)^3 = \frac{4}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Приводя дроби к общему знаменателю $3$, получаем:
$y_0 = \frac{4\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$.
Первая точка имеет координаты $(1, \sqrt{3})$.

Для $x_0 = -1$:
$y_0 = f(-1) = \frac{4}{\sqrt{3}}(-1) - \frac{\sqrt{3}}{3}(-1)^3 = -\frac{4}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}}{3}(-1) = -\frac{4}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3}$.
$y_0 = -\frac{4\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{-3\sqrt{3}}{3} = -\sqrt{3}$.
Вторая точка имеет координаты $(-1, -\sqrt{3})$.

Ответ: $(1, \sqrt{3})$ и $(-1, -\sqrt{3})$.