Номер 46, страница 73, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

46. (2) Найдите уравнение касательной к функции $y = \sqrt{4-2x-x^2}$, проходящей через точку $(3; 0)$.

Уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

В данном случае, касательная проходит через точку $(3; 0)$, которая не обязательно является точкой касания. Пусть $x_0$ — это абсцисса точки касания на графике функции $f(x) = \sqrt{4 - 2x - x^2}$.

1. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\sqrt{4 - 2x - x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{4 - 2x - x^2}} \cdot (4 - 2x - x^2)' = \frac{-2 - 2x}{2\sqrt{4 - 2x - x^2}} = -\frac{1 + x}{\sqrt{4 - 2x - x^2}}$.

2. Составим уравнение касательной в точке $x_0$:

$y_0 = f(x_0) = \sqrt{4 - 2x_0 - x_0^2}$

$k = f'(x_0) = -\frac{1 + x_0}{\sqrt{4 - 2x_0 - x_0^2}}$

Уравнение касательной: $y = \sqrt{4 - 2x_0 - x_0^2} - \frac{1 + x_0}{\sqrt{4 - 2x_0 - x_0^2}}(x - x_0)$.

3. Используем тот факт, что касательная проходит через точку $(3; 0)$. Подставим $x = 3$ и $y = 0$ в уравнение касательной, чтобы найти $x_0$:

$0 = \sqrt{4 - 2x_0 - x_0^2} - \frac{1 + x_0}{\sqrt{4 - 2x_0 - x_0^2}}(3 - x_0)$.

Перенесем второе слагаемое в левую часть и умножим обе части на знаменатель $\sqrt{4 - 2x_0 - x_0^2}$ (он не равен нулю, так как в точке касания производная существует):

$\frac{1 + x_0}{\sqrt{4 - 2x_0 - x_0^2}}(3 - x_0) = \sqrt{4 - 2x_0 - x_0^2}$

$(1 + x_0)(3 - x_0) = (\sqrt{4 - 2x_0 - x_0^2})^2$

$3 - x_0 + 3x_0 - x_0^2 = 4 - 2x_0 - x_0^2$

$3 + 2x_0 = 4 - 2x_0$

$4x_0 = 1$

$x_0 = \frac{1}{4}$.

4. Теперь, зная абсциссу точки касания $x_0 = \frac{1}{4}$, мы можем найти угловой коэффициент касательной $k = f'(x_0)$:

$k = f'(\frac{1}{4}) = -\frac{1 + \frac{1}{4}}{\sqrt{4 - 2(\frac{1}{4}) - (\frac{1}{4})^2}} = -\frac{\frac{5}{4}}{\sqrt{4 - \frac{1}{2} - \frac{1}{16}}} = -\frac{\frac{5}{4}}{\sqrt{\frac{64 - 8 - 1}{16}}} = -\frac{\frac{5}{4}}{\sqrt{\frac{55}{16}}} = -\frac{\frac{5}{4}}{\frac{\sqrt{55}}{4}} = -\frac{5}{\sqrt{55}}$.

Упростим выражение для $k$, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{55}$:

$k = -\frac{5\sqrt{55}}{55} = -\frac{\sqrt{55}}{11}$.

5. Мы знаем угловой коэффициент касательной $k = -\frac{\sqrt{55}}{11}$ и точку $(3; 0)$, через которую она проходит. Составим уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту $y - y_1 = k(x - x_1)$:

$y - 0 = -\frac{\sqrt{55}}{11}(x - 3)$

$y = -\frac{\sqrt{55}}{11}(x - 3)$.

Ответ: $y = -\frac{\sqrt{55}}{11}(x - 3)$.