Номер 53, страница 74, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

53. (3) В течение недели перед экзаменом ученик занимался 12 часов 15 минут, причем ежедневно он тратил на подготовку к экзамену на одно и то же число минут больше, чем в предыдущий день. В первые 3 дня он занимался в общей сложности 3 часа 45 минут. Сколько минут он занимался накануне экзамена?

Пусть время, которое ученик занимался в первый день, составляет $a_1$ минут. Поскольку каждый день он занимался на одно и то же число минут больше, чем в предыдущий, время занятий по дням представляет собой арифметическую прогрессию. Обозначим эту постоянную разницу в минутах как $d$. Подготовка к экзамену длилась неделю, то есть 7 дней ($n=7$).

Для решения задачи переведем все временные интервалы в минуты:

Общее время занятий за неделю ($S_7$): 12 часов 15 минут = $12 \times 60 + 15 = 720 + 15 = 735$ минут.

Время занятий за первые 3 дня ($S_3$): 3 часа 45 минут = $3 \times 60 + 45 = 180 + 45 = 225$ минут.

Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$. Используем эту формулу, чтобы составить систему из двух уравнений с двумя неизвестными $a_1$ и $d$.

1. Для суммы за 7 дней ($S_7$):
$S_7 = \frac{2a_1 + (7-1)d}{2} \cdot 7 = 735$
$\frac{2a_1 + 6d}{2} \cdot 7 = 735$
$(a_1 + 3d) \cdot 7 = 735$
$a_1 + 3d = 105$

2. Для суммы за 3 дня ($S_3$):
$S_3 = \frac{2a_1 + (3-1)d}{2} \cdot 3 = 225$
$\frac{2a_1 + 2d}{2} \cdot 3 = 225$
$(a_1 + d) \cdot 3 = 225$
$a_1 + d = 75$

Теперь решим систему уравнений:

$\begin{cases} a_1 + 3d = 105 \\ a_1 + d = 75 \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(a_1 + 3d) - (a_1 + d) = 105 - 75$
$2d = 30$
$d = 15$

Подставим найденное значение $d$ во второе уравнение, чтобы найти $a_1$:

$a_1 + 15 = 75$
$a_1 = 75 - 15$
$a_1 = 60$

Таким образом, в первый день ученик занимался 60 минут, а каждый следующий день — на 15 минут дольше.

Вопрос задачи — сколько минут ученик занимался накануне экзамена, то есть в последний, седьмой день. Нам нужно найти седьмой член прогрессии ($a_7$).

Используем формулу $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

$a_7 = a_1 + (7-1)d = a_1 + 6d$
$a_7 = 60 + 6 \cdot 15$
$a_7 = 60 + 90$
$a_7 = 150$

Ответ: 150 минут.