Номер 54, страница 74, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

54. (3) Требуется приготовить определенное количество порций омлета. На рынке имеется два вида одинаковых по форме яиц, но высота яиц первого вида в 1,5 раза больше высоты яиц второго вида. Сколько яиц второго вида можно купить вместо 8 яиц первого?

A) 10 B) 12 C) 16 D) 27 E) 24

Для решения этой задачи необходимо найти соотношение объемов яиц двух видов, так как количество порций омлета, которое можно приготовить, прямо пропорционально общему объему яичной массы.

В условии сказано, что яйца обоих видов "одинаковых по форме". Это означает, что они являются геометрически подобными телами. Обозначим высоту яйца первого (большего) вида как $h_1$, а высоту яйца второго (меньшего) вида — как $h_2$. По условию, высота яиц первого вида в 1,5 раза больше высоты яиц второго вида. Запишем это в виде формулы:

$h_1 = 1.5 \cdot h_2$

Отношение линейных размеров подобных тел называется коэффициентом подобия $k$. В данном случае:

$k = \frac{h_1}{h_2} = 1.5$

Согласно свойству подобных тел, отношение их объемов равно кубу коэффициента подобия. Обозначим объемы яиц первого и второго вида как $V_1$ и $V_2$ соответственно. Тогда их отношение будет:

$\frac{V_1}{V_2} = k^3 = (1.5)^3$

Для удобства вычислений представим десятичную дробь 1,5 в виде обыкновенной дроби $\frac{3}{2}$:

$(1.5)^3 = \left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{3^3}{2^3} = \frac{27}{8}$

Это означает, что объем одного яйца первого вида равен объему $\frac{27}{8}$ яиц второго вида: $V_1 = \frac{27}{8} V_2$.

Теперь нам нужно определить, сколько яиц второго вида (обозначим это количество как $N_2$) потребуется, чтобы заменить 8 яиц первого вида ($N_1 = 8$) и получить тот же суммарный объем. Для этого приравняем общие объемы:

$N_1 \cdot V_1 = N_2 \cdot V_2$

Подставим в это равенство известные нам значения $N_1 = 8$ и соотношение $V_1 = \frac{27}{8} V_2$:

$8 \cdot \left(\frac{27}{8} V_2\right) = N_2 \cdot V_2$

Сокращаем $V_2$ в обеих частях уравнения (так как объем яйца не равен нулю) и производим вычисления:

$8 \cdot \frac{27}{8} = N_2$

$N_2 = 27$

Таким образом, для получения того же количества омлета вместо 8 яиц первого вида потребуется 27 яиц второго вида.

Ответ: D) 27