Номер 4, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

4. (2) Функция $f(x) = \frac{(x-1)^4 (x+1)^7 (5-x)^8}{(x+3)^6}$ является производной от некоторой функции $F(x)$. Определите интервалы убывания функции $F(x)$.

Функция $F(x)$ убывает на тех промежутках, где её производная $F'(x)$ неположительна, то есть $F'(x) \le 0$. По условию задачи, $F'(x) = f(x)$, следовательно, нам необходимо найти интервалы, на которых выполняется неравенство:

$f(x) = \frac{(x-1)^4(x+1)^7(5-x)^3}{(x+3)^6} \le 0$

Для решения этого неравенства воспользуемся методом интервалов.
1. Найдём область определения функции $f(x)$. Знаменатель не может быть равен нулю: $(x+3)^6 \neq 0$, откуда следует, что $x \neq -3$.
2. Найдём нули функции $f(x)$, приравняв числитель к нулю: $(x-1)^4(x+1)^7(5-x)^3 = 0$. Корнями уравнения являются $x = 1$, $x = -1$ и $x = 5$.
3. Нанесём на числовую ось точки, в которых функция равна нулю ($x=-1, 1, 5$) или не определена ($x=-3$). Эти точки разбивают числовую ось на интервалы. Точка $x=-3$ выколотая, остальные — закрашенные, так как неравенство нестрогое.
4. Определим знак функции $f(x)$ на каждом из полученных интервалов. Знак функции меняется при переходе через корни нечётной кратности и не меняется при переходе через корни чётной кратности.
- Множитель $(x-1)^4$: корень $x=1$ имеет чётную кратность (4), знак не меняется.
- Множитель $(x+1)^7$: корень $x=-1$ имеет нечётную кратность (7), знак меняется.
- Множитель $(5-x)^3$: корень $x=5$ имеет нечётную кратность (3), знак меняется.
- Множитель $(x+3)^6$: корень $x=-3$ имеет чётную кратность (6), знак не меняется.
5. Проверим знак функции в крайнем правом интервале $(5, \infty)$. Возьмём пробную точку, например, $x=10$:
$f(10) = \frac{(10-1)^4(10+1)^7(5-10)^3}{(10+3)^6} = \frac{(+)^4 \cdot (+)^7 \cdot (-)^3}{(+)^6} = \frac{+ \cdot + \cdot -}{+} < 0$.
Двигаясь справа налево по числовой оси и учитывая кратность корней, расставим знаки на остальных интервалах:
- Интервал $(1, 5)$: при переходе через $x=5$ (нечётная кратность) знак меняется с «-» на «+».
- Интервал $(-1, 1)$: при переходе через $x=1$ (чётная кратность) знак не меняется и остаётся «+».
- Интервал $(-3, -1)$: при переходе через $x=-1$ (нечётная кратность) знак меняется с «+» на «-».
- Интервал $(-\infty, -3)$: при переходе через $x=-3$ (чётная кратность) знак не меняется и остаётся «-».
Таким образом, $f(x) \le 0$ на множестве $(-\infty, -3) \cup (-3, -1] \cup [5, \infty)$. Точка $x=1$ является нулем функции, но в её окрестности $f(x) \ge 0$, поэтому функция $F(x)$ в окрестности этой точки возрастает.
Следовательно, интервалами убывания функции $F(x)$ являются промежутки, где $f(x) \le 0$.
Ответ: $(-\infty, -3)$; $(-3, -1]$; $[5, \infty)$.