Номер 8, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

8. (3) Сколько членов арифметической прогрессии $a_n$ попадают в ин-

тервал убывания функции $g(x)=-\frac{x^3}{3}-\frac{2015}{2}x^2+2014x-2013$, если

$a_2=102$ и $a_3=202$?

Для решения задачи сначала необходимо найти интервал, на котором функция $g(x)$ убывает. Функция убывает, когда ее производная $g'(x)$ не положительна, то есть $g'(x) \le 0$.

1. Найдем интервал убывания функции $g(x)$.

Задана функция $g(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{2015}{2}x^2 + 2014x - 2013$.

Найдем ее производную:$g'(x) = \left(\frac{x^3}{3} - \frac{2015}{2}x^2 + 2014x - 2013\right)' = \frac{3x^2}{3} - \frac{2015 \cdot 2x}{2} + 2014 = x^2 - 2015x + 2014$.

Теперь решим неравенство $g'(x) \le 0$:$x^2 - 2015x + 2014 \le 0$.Для этого найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 2015x + 2014 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $2015$, а их произведение равно $2014$. Отсюда легко найти корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2014$.Поскольку график функции $y = x^2 - 2015x + 2014$ — это парабола с ветвями вверх, то значения функции не положительны между корнями, включая сами корни.Следовательно, интервал убывания функции $g(x)$ — это отрезок $[1, 2014]$.

2. Найдем параметры арифметической прогрессии $a_n$.

Из условия известны второй и третий члены прогрессии: $a_2 = 102$ и $a_3 = 202$.Разность арифметической прогрессии $d$ равна:$d = a_3 - a_2 = 202 - 102 = 100$.Первый член прогрессии $a_1$ находим из соотношения $a_2 = a_1 + d$:$a_1 = a_2 - d = 102 - 100 = 2$.Теперь запишем формулу n-го члена данной арифметической прогрессии:$a_n = a_1 + (n-1)d = 2 + (n-1) \cdot 100 = 2 + 100n - 100 = 100n - 98$.

3. Определим, сколько членов прогрессии $a_n$ попадают в интервал убывания $[1, 2014]$.

Для этого нужно найти количество натуральных чисел $n$, для которых выполняется двойное неравенство:$1 \le a_n \le 2014$.Подставим в неравенство найденную формулу для $a_n$:$1 \le 100n - 98 \le 2014$.Прибавим ко всем частям неравенства 98:$1 + 98 \le 100n \le 2014 + 98$$99 \le 100n \le 2112$.Теперь разделим все части неравенства на 100:$\frac{99}{100} \le n \le \frac{2112}{100}$$0.99 \le n \le 21.12$.

Поскольку номер члена прогрессии $n$ является натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$), то этому условию удовлетворяют все целые числа от 1 до 21 включительно: $n = 1, 2, 3, \ldots, 21$.Чтобы найти количество этих чисел, вычтем из последнего номера первый и прибавим единицу: $21 - 1 + 1 = 21$.Таким образом, 21 член прогрессии попадает в интервал убывания функции.

Ответ: 21.