Номер 12, страница 83, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

12. (2) Исследуйте на монотонность функции:

a) $f(x) = \sqrt{5-x}$;

б) $g(x) = \sqrt{12-x-x^2}$;

в) $h(x) = x\sqrt{8-x^2}$;

г) $u(x) = \frac{x+1}{\sqrt{3-x^2}}$.

Для исследования функции на монотонность необходимо найти ее производную и определить знаки производной на области определения функции. Если производная положительна на некотором интервале, функция на нем возрастает. Если производная отрицательна, функция убывает.

а) $f(x) = \sqrt{5-x}$
1. Найдём область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$5 - x \ge 0 \implies x \le 5$.
Область определения $D(f) = (-\infty, 5]$.
2. Найдём производную функции по правилу дифференцирования сложной функции:
$f'(x) = (\sqrt{5-x})' = \frac{1}{2\sqrt{5-x}} \cdot (5-x)' = \frac{1}{2\sqrt{5-x}} \cdot (-1) = -\frac{1}{2\sqrt{5-x}}$.
3. Определим знак производной. Производная определена для всех $x < 5$.
Знаменатель $2\sqrt{5-x}$ всегда положителен при $x < 5$.
Следовательно, $f'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{5-x}} < 0$ для всех $x$ из интервала $(-\infty, 5)$.
4. Так как производная отрицательна на всей области определения (кроме точки $x=5$, где она не определена), функция монотонно убывает.

Ответ: функция убывает на всей области определения $(-\infty, 5]$.

б) $g(x) = \sqrt{12-x-x^2}$
1. Найдём область определения функции:
$12 - x - x^2 \ge 0 \implies x^2 + x - 12 \le 0$.
Найдём корни уравнения $x^2 + x - 12 = 0$. По теореме Виета $x_1 = -4, x_2 = 3$.
Так как ветви параболы $y = x^2 + x - 12$ направлены вверх, неравенство выполняется между корнями: $-4 \le x \le 3$.
Область определения $D(g) = [-4, 3]$.
2. Найдём производную функции:
$g'(x) = (\sqrt{12-x-x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{12-x-x^2}} \cdot (12-x-x^2)' = \frac{-1-2x}{2\sqrt{12-x-x^2}}$.
3. Найдём критические точки, приравняв числитель производной к нулю (знаменатель равен нулю на концах области определения):
$-1 - 2x = 0 \implies 2x = -1 \implies x = -0.5$.
Эта точка принадлежит области определения.
4. Определим знаки производной на интервалах $(-4, -0.5)$ и $(-0.5, 3)$. Знак производной определяется знаком числителя $-1-2x$.
- При $x \in (-4, -0.5)$, например $x=-1$, числитель $-1-2(-1) = 1 > 0$. Значит, $g'(x) > 0$ и функция возрастает.
- При $x \in (-0.5, 3)$, например $x=0$, числитель $-1-2(0) = -1 < 0$. Значит, $g'(x) < 0$ и функция убывает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-4, -0.5]$ и убывает на промежутке $[-0.5, 3]$.

в) $h(x) = x\sqrt{8-x^2}$
1. Найдём область определения функции:
$8 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 8 \implies -\sqrt{8} \le x \le \sqrt{8} \implies -2\sqrt{2} \le x \le 2\sqrt{2}$.
Область определения $D(h) = [-2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}]$.
2. Найдём производную функции по правилу дифференцирования произведения:
$h'(x) = (x)'\sqrt{8-x^2} + x(\sqrt{8-x^2})' = 1 \cdot \sqrt{8-x^2} + x \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{8-x^2}} = \sqrt{8-x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{8-x^2}}$.
Приведём к общему знаменателю:
$h'(x) = \frac{8-x^2-x^2}{\sqrt{8-x^2}} = \frac{8-2x^2}{\sqrt{8-x^2}}$.
3. Найдём критические точки, приравняв числитель к нулю:
$8 - 2x^2 = 0 \implies 2x^2 = 8 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.
Обе точки принадлежат области определения.
4. Определим знаки производной. Знак $h'(x)$ совпадает со знаком числителя $8-2x^2$. Парабола $y=8-2x^2$ имеет ветви вниз.
- На интервалах $(-2\sqrt{2}, -2)$ и $(2, 2\sqrt{2})$ значение $8-2x^2 < 0$, значит $h'(x) < 0$ и функция убывает.
- На интервале $(-2, 2)$ значение $8-2x^2 > 0$, значит $h'(x) > 0$ и функция возрастает.

Ответ: функция убывает на промежутках $[-2\sqrt{2}, -2]$ и $[2, 2\sqrt{2}]$, возрастает на промежутке $[-2, 2]$.

г) $u(x) = \frac{x+1}{\sqrt{3-x^2}}$
1. Найдём область определения функции. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным:
$3 - x^2 > 0 \implies x^2 < 3 \implies -\sqrt{3} < x < \sqrt{3}$.
Область определения $D(u) = (-\sqrt{3}, \sqrt{3})$.
2. Найдём производную функции по правилу дифференцирования частного:
$u'(x) = \frac{(x+1)'\sqrt{3-x^2} - (x+1)(\sqrt{3-x^2})'}{(\sqrt{3-x^2})^2} = \frac{1 \cdot \sqrt{3-x^2} - (x+1)\frac{-2x}{2\sqrt{3-x^2}}}{3-x^2}$.
$u'(x) = \frac{\sqrt{3-x^2} + \frac{x(x+1)}{\sqrt{3-x^2}}}{3-x^2} = \frac{\frac{(3-x^2)+x(x+1)}{\sqrt{3-x^2}}}{3-x^2} = \frac{3-x^2+x^2+x}{(3-x^2)\sqrt{3-x^2}} = \frac{x+3}{(3-x^2)^{3/2}}$.
3. Определим знак производной на области определения $(-\sqrt{3}, \sqrt{3})$.
Знаменатель $(3-x^2)^{3/2}$ всегда положителен внутри области определения.
Знак производной определяется знаком числителя $x+3$.
Так как $x \in (-\sqrt{3}, \sqrt{3})$, а $-\sqrt{3} \approx -1.732$, то $x > -3$. Следовательно, числитель $x+3$ всегда положителен.
4. Поскольку $u'(x) > 0$ на всей области определения, функция монотонно возрастает.

Ответ: функция возрастает на всей области определения $(-\sqrt{3}, \sqrt{3})$.