Номер 15, страница 83, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

15. (3) Определив множество значений производной от функции $f(x)=\sin 2014x+\cos 2014x+2x+11$, объясните, почему функция $f(x)$ возрастает на всей области определения.

Определение множества значений производной от функции $f(x)=\sin(2014x)+\cos(2014x)+2x+11$

Для решения задачи сначала найдем производную функции $f(x)$. Область определения данной функции — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.

Применяя правило дифференцирования суммы и правило дифференцирования сложной функции, получаем:

$f'(x) = (\sin(2014x))' + (\cos(2014x))' + (2x)' + (11)'$

$f'(x) = \cos(2014x) \cdot (2014x)' - \sin(2014x) \cdot (2014x)' + 2 + 0$

$f'(x) = 2014\cos(2014x) - 2014\sin(2014x) + 2$

Чтобы найти множество значений производной $f'(x)$, преобразуем тригонометрическую часть выражения. Вынесем общий множитель $2014$ за скобки:

$f'(x) = 2014(\cos(2014x) - \sin(2014x)) + 2$

Воспользуемся методом вспомогательного угла для выражения в скобках. Для выражения вида $A\cos\phi + B\sin\phi$ амплитуда равна $\sqrt{A^2+B^2}$. В нашем случае для $\cos(2014x) - \sin(2014x)$ имеем $A=1, B=-1$.

$\cos(2014x) - \sin(2014x) = \sqrt{1^2+(-1)^2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\cos(2014x) - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin(2014x) \right)$

Так как $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$, то выражение можно записать как:

$\sqrt{2} \left( \cos(\frac{\pi}{4})\cos(2014x) - \sin(\frac{\pi}{4})\sin(2014x) \right)$

Используя формулу косинуса суммы $\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$, получаем:

$\cos(2014x) - \sin(2014x) = \sqrt{2}\cos(2014x + \frac{\pi}{4})$

Теперь подставим это преобразованное выражение обратно в формулу для производной:

$f'(x) = 2014\sqrt{2}\cos(2014x + \frac{\pi}{4}) + 2$

Мы знаем, что множество значений функции косинус, $\cos(\alpha)$, есть отрезок $[-1, 1]$. Соответственно, множество значений выражения $\cos(2014x + \frac{\pi}{4})$ также является отрезком $[-1, 1]$.

Следовательно, множество значений для $2014\sqrt{2}\cos(2014x + \frac{\pi}{4})$ — это отрезок $[-2014\sqrt{2}, 2014\sqrt{2}]$.

Чтобы найти множество значений для всей производной $f'(x)$, нужно прибавить $2$ к границам этого отрезка.

Минимальное значение $f'(x)$ равно $2 - 2014\sqrt{2}$.

Максимальное значение $f'(x)$ равно $2 + 2014\sqrt{2}$.

Таким образом, множество значений производной $f'(x)$ — это отрезок $[2 - 2014\sqrt{2}, 2 + 2014\sqrt{2}]$.

Ответ: Множество значений производной функции есть отрезок $[2 - 2014\sqrt{2}, 2 + 2014\sqrt{2}]$.

Объяснение, почему функция f(x) возрастает на всей области определения

Функция является возрастающей на некотором интервале, если ее производная на этом интервале неотрицательна, то есть $f'(x) \ge 0$. Чтобы функция возрастала на всей своей области определения ($\mathbb{R}$), необходимо, чтобы это условие выполнялось для всех действительных значений $x$.

Из предыдущего пункта мы знаем, что множество значений производной $E(f')$ есть отрезок $[2 - 2014\sqrt{2}, 2 + 2014\sqrt{2}]$.

Рассмотрим минимальное значение производной: $f'_{\min} = 2 - 2014\sqrt{2}$.

Оценим знак этого значения. Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, очевидно, что $2014\sqrt{2}$ значительно больше $2$.

Например, $2014\sqrt{2} > 2014 \cdot 1 = 2014$.

Следовательно, $f'_{\min} = 2 - 2014\sqrt{2} < 2 - 2014 = -2012 < 0$.

Поскольку минимальное значение производной отрицательно, это означает, что существуют значения $x$, при которых $f'(x) < 0$. На интервалах, где производная отрицательна, функция $f(x)$ убывает.

Таким образом, утверждение о том, что данная функция $f(x)$ возрастает на всей области определения, является некорректным.

Ответ: Функция $f(x)=\sin(2014x)+\cos(2014x)+2x+11$ не возрастает на всей области определения, так как ее производная $f'(x) = 2014\cos(2014x) - 2014\sin(2014x) + 2$ принимает как положительные, так и отрицательные значения. Минимальное значение производной $2 - 2014\sqrt{2}$ является отрицательным, что доказывает наличие у функции промежутков убывания.