Номер 14, страница 83, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

14. (3) Докажите, что:

а) функция $f(x)=-x^3+9x^2-27x+2015$ убывает на всей области определения;

б) функция $g(x)=2x-\sin 2x$ возрастает на всей области определения;

в) функция $h(x)=\operatorname{arctg} x-x$ возрастает на всей области определения.

а) Чтобы доказать, что функция $f(x) = -x^3 + 9x^2 - 27x + 2015$ убывает на всей области определения, необходимо найти ее производную и доказать, что она неположительна, то есть $f'(x) \le 0$ для всех $x$ из области определения.

Область определения данной функции — все действительные числа, так как это многочлен. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции $f(x)$ по правилам дифференцирования степенной функции: $f'(x) = (-x^3 + 9x^2 - 27x + 2015)' = -3x^2 + 2 \cdot 9x - 27 = -3x^2 + 18x - 27$.

Для анализа знака производной преобразуем полученное выражение. Вынесем общий множитель $-3$ за скобки: $f'(x) = -3(x^2 - 6x + 9)$.

Выражение в скобках представляет собой формулу полного квадрата разности: $x^2 - 6x + 9 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x-3)^2$.

Таким образом, производная принимает вид: $f'(x) = -3(x-3)^2$.

Квадрат любого действительного числа $(x-3)^2$ всегда неотрицателен, то есть $(x-3)^2 \ge 0$. Так как это выражение умножается на отрицательное число $-3$, то производная $f'(x)$ будет всегда неположительна: $f'(x) \le 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Производная обращается в ноль только в точке $x=3$. Поскольку $f'(x) \le 0$ на всей области определения и равна нулю лишь в одной изолированной точке, функция $f(x)$ монотонно убывает на всей своей области определения.

Ответ: Утверждение доказано, функция $f(x)$ убывает на всей области определения.

б) Для доказательства того, что функция $g(x) = 2x - \sin(2x)$ возрастает на всей области определения, найдем ее производную и докажем, что она неотрицательна, то есть $g'(x) \ge 0$ для всех $x$.

Область определения функции — все действительные числа, $D(g) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции $g(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции для $\sin(2x)$: $g'(x) = (2x - \sin(2x))' = (2x)' - (\sin(2x))' = 2 - \cos(2x) \cdot (2x)' = 2 - 2\cos(2x)$.

Проанализируем знак производной $g'(x) = 2 - 2\cos(2x)$. Известно, что функция косинус принимает значения в диапазоне от $-1$ до $1$: $-1 \le \cos(2x) \le 1$.

Умножим все части этого двойного неравенства на $-2$, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные: $(-1) \cdot (-2) \ge -2\cos(2x) \ge 1 \cdot (-2)$, что равносильно $2 \ge -2\cos(2x) \ge -2$.

Теперь прибавим $2$ ко всем частям неравенства: $2+2 \ge 2 - 2\cos(2x) \ge 2-2$. $4 \ge g'(x) \ge 0$.

Таким образом, производная $g'(x)$ всегда неотрицательна. Производная равна нулю в точках, где $g'(x)=0$, то есть $2 - 2\cos(2x) = 0$, что означает $\cos(2x) = 1$. Это происходит, когда $2x = 2\pi k$, или $x = \pi k$, где $k$ — любое целое число.

Поскольку производная неотрицательна на всей области определения и обращается в ноль лишь в изолированных точках, функция $g(x)$ монотонно возрастает на всей области определения.

Ответ: Утверждение доказано, функция $g(x)$ возрастает на всей области определения.

в) Чтобы исследовать на монотонность функцию $h(x) = \text{arcctg}x - x$, необходимо найти ее производную и определить ее знак. В условии задачи требуется доказать, что функция возрастает. Проверим это утверждение.

Область определения функции арккотангенса — все действительные числа, поэтому $D(h) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции $h(x)$, используя известную производную арккотангенса $(\text{arcctg}x)' = -\frac{1}{1+x^2}$: $h'(x) = (\text{arcctg}x - x)' = (\text{arcctg}x)' - (x)' = -\frac{1}{1+x^2} - 1$.

Проанализируем знак производной $h'(x) = -\frac{1}{1+x^2} - 1$. Для любого действительного числа $x$ его квадрат $x^2 \ge 0$. Следовательно, знаменатель $1+x^2 \ge 1$. Отсюда следует, что дробь $\frac{1}{1+x^2}$ принимает значения в полуинтервале $(0, 1]$, то есть $0 < \frac{1}{1+x^2} \le 1$.

Тогда выражение $-\frac{1}{1+x^2}$ принимает значения в полуинтервале $[-1, 0)$. Вычитая из этого выражения единицу, получаем: $h'(x) = -\frac{1}{1+x^2} - 1$. Так как $-1 \le -\frac{1}{1+x^2} < 0$, то $h'(x) \le -1-0 = -1$. Более точно, $h'(x)$ находится в диапазоне $[-2, -1)$.

Поскольку производная $h'(x)$ строго отрицательна ($h'(x) < 0$) для всех $x$ из области определения, функция $h(x)$ является строго убывающей на всей области определения. Это противоречит утверждению в условии задачи. Вероятно, в условии содержится опечатка.

Ответ: Утверждение в задаче неверно. Доказано, что функция $h(x) = \text{arcctg}x - x$ убывает на всей области определения.