Номер 17, страница 83, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

17. (3)

В арифметической прогрессии сумма второго и четвертого членов равна 12, а сумма первых 10 членов прогрессии равна 110. Сколько членов данной прогрессии не попадают в интервалы убывания функции $h(x)=-\frac{x^3}{3}+7x^2+15x-16$?

Для решения задачи необходимо выполнить три основных шага: найти параметры арифметической прогрессии, определить интервалы убывания функции и, наконец, подсчитать, сколько членов прогрессии не попадают в эти интервалы.

1. Нахождение параметров арифметической прогрессии

Пусть $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность. Формула для n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Согласно условию, сумма второго и четвертого членов равна 12:

$a_2 + a_4 = 12$

Выразим $a_2$ и $a_4$ через $a_1$ и $d$:

$(a_1 + (2-1)d) + (a_1 + (4-1)d) = 12$

$(a_1 + d) + (a_1 + 3d) = 12$

$2a_1 + 4d = 12$

Разделив обе части уравнения на 2, получаем: $a_1 + 2d = 6$.

Также по условию сумма первых 10 членов прогрессии $S_{10}$ равна 110. Воспользуемся формулой суммы первых n членов: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.

$S_{10} = \frac{2a_1 + (10-1)d}{2} \cdot 10 = 110$

$(2a_1 + 9d) \cdot 5 = 110$

Разделив обе части на 5, получаем второе уравнение: $2a_1 + 9d = 22$.

Теперь решим систему из двух полученных уравнений:

$\begin{cases} a_1 + 2d = 6 \\ 2a_1 + 9d = 22 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $a_1$: $a_1 = 6 - 2d$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$2(6 - 2d) + 9d = 22$

$12 - 4d + 9d = 22$

$5d = 10$

$d = 2$

Подставим значение $d$ обратно в выражение для $a_1$: $a_1 = 6 - 2(2) = 2$.

Итак, первый член прогрессии $a_1=2$, разность $d=2$. Формула n-го члена данной прогрессии: $a_n = 2 + (n-1) \cdot 2 = 2 + 2n - 2 = 2n$.

2. Нахождение интервалов убывания функции

Функция убывает на тех промежутках, где её первая производная отрицательна или равна нулю. Найдём производную функции $h(x) = -\frac{x^3}{3} + 7x^2 + 15x - 16$.

$h'(x) = \left(-\frac{x^3}{3} + 7x^2 + 15x - 16\right)' = -\frac{3x^2}{3} + 14x + 15 = -x^2 + 14x + 15$.

Теперь найдём, при каких значениях $x$ производная $h'(x) \le 0$:

$-x^2 + 14x + 15 \le 0$

Умножим неравенство на -1 и сменим знак:

$x^2 - 14x - 15 \ge 0$

Для решения найдём корни квадратного уравнения $x^2 - 14x - 15 = 0$.

Дискриминант $D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 196 + 60 = 256 = 16^2$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{14 \pm 16}{2}$.

$x_1 = \frac{14 - 16}{2} = -1$

$x_2 = \frac{14 + 16}{2} = 15$

График функции $y = x^2 - 14x - 15$ — парабола с ветвями вверх, поэтому она принимает неотрицательные значения вне интервала между корнями. Таким образом, неравенство $x^2 - 14x - 15 \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty, -1] \cup [15, \infty)$. Это и есть интервалы убывания функции $h(x)$.

3. Подсчёт количества членов прогрессии

Нам нужно найти количество членов прогрессии $a_n = 2n$, которые не попадают в найденные интервалы убывания $(-\infty, -1]$ и $[15, \infty)$. Это означает, что искомые члены должны находиться в промежутке $(-1, 15)$.

Составим двойное неравенство:

$-1 < a_n < 15$

Подставим в него формулу n-го члена $a_n = 2n$:

$-1 < 2n < 15$

Разделим все части неравенства на 2:

$-0.5 < n < 7.5$

Так как номер члена прогрессии $n$ должен быть натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$), то этому условию удовлетворяют значения $n = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$.

Количество таких значений равно 7.

Ответ: 7