Номер 2, страница 90, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

2. (3) На рисунке 4 изображен график производной $f'(x)$ функции $y=f(x)$, $D(f):(-6;6)$.

Рис. 4

а) Укажите критические точки функции $f(x)$.

б) Укажите интервалы монотонности функции $f(x)$.

в) Укажите точки локальных экстремумов функции $f(x)$.

а) Укажите критические точки функции $f(x)$.
Критические точки функции $f(x)$ – это внутренние точки области определения, в которых производная $f'(x)$ равна нулю или не существует. Нам дан график производной $f'(x)$ на интервале $(-6; 6)$.
Из графика видно, что производная $f'(x)$ существует для всех $x$ из области определения $D(f) = (-6; 6)$. Следовательно, для нахождения критических точек необходимо найти значения $x$, при которых производная $f'(x)$ равна нулю.
Это соответствует точкам пересечения графика $f'(x)$ с осью абсцисс (осью Ox).
По графику находим, что $f'(x) = 0$ при $x = -4$ и $x = 2$.
Таким образом, критическими точками функции $f(x)$ являются $x = -4$ и $x = 2$.
Ответ: $x = -4$, $x = 2$.

б) Укажите интервалы монотонности функции $f(x)$.
Интервалы монотонности функции $f(x)$ определяются знаком её производной $f'(x)$.
1. Функция $f(x)$ возрастает на тех интервалах, где её производная $f'(x) > 0$.
2. Функция $f(x)$ убывает на тех интервалах, где её производная $f'(x) < 0$.
Анализируя график $f'(x)$, мы видим:
- Производная $f'(x) > 0$ (график находится выше оси Ox) на интервалах $(-6; -4)$ и $(2; 6)$. Следовательно, функция $f(x)$ возрастает на этих интервалах.
- Производная $f'(x) < 0$ (график находится ниже оси Ox) на интервале $(-4; 2)$. Следовательно, функция $f(x)$ убывает на этом интервале.
Включая концы интервалов (критические точки), получаем полные интервалы монотонности.
Ответ: функция возрастает на интервалах $(-6; -4]$ и $[2; 6)$; функция убывает на интервале $[-4; 2]$.

в) Укажите точки локальных экстремумов функции $f(x)$.
Точки локального экстремума (максимума или минимума) функции $f(x)$ находятся среди её критических точек. Для определения типа экстремума необходимо проанализировать, как меняется знак производной $f'(x)$ при переходе через критическую точку.
- В точке $x = -4$: слева от этой точки производная $f'(x)$ положительна ($f'(x)>0$), а справа — отрицательна ($f'(x)<0$). Так как знак производной меняется с «+» на «−», то $x = -4$ является точкой локального максимума функции $f(x)$.
- В точке $x = 2$: слева от этой точки производная $f'(x)$ отрицательна ($f'(x)<0$), а справа — положительна ($f'(x)>0$). Так как знак производной меняется с «−» на «+», то $x = 2$ является точкой локального минимума функции $f(x)$.
Ответ: $x_{max} = -4$ — точка локального максимума, $x_{min} = 2$ — точка локального минимума.