Номер 7, страница 90, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

7. (3) Найдите точки локальных экстремумов для следующих функций:
a) $f(x)=\sin x$;
б) $g(x)=\cos \left(2x-\frac{\pi}{3}\right)-\sqrt{2x}$
в) $h(x)=\sin 3x \cos \frac{3\pi}{7} - \cos 3x \sin \frac{3\pi}{7} + \frac{3\sqrt{3}}{2}x.$

а) $f(x) = \sin x$

Для нахождения точек локальных экстремумов функции необходимо найти ее производную, приравнять к нулю и найти критические точки. Затем исследовать знак производной в окрестности этих точек или использовать вторую производную.

1. Находим первую производную функции:

$f'(x) = (\sin x)' = \cos x$

2. Находим критические точки, решая уравнение $f'(x) = 0$:

$\cos x = 0$

Решениями этого уравнения являются точки $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3. Используем вторую производную для определения типа экстремума:

$f''(x) = (\cos x)' = -\sin x$

Подставим найденные критические точки в выражение для второй производной:

$f''(\frac{\pi}{2} + \pi n) = -\sin(\frac{\pi}{2} + \pi n)$

Рассмотрим два случая:

- Если $n$ — четное число, т.е. $n = 2k$, где $k \in \mathbb{Z}$, то $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$. $f''(\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = -\sin(\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = -\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$. Так как $f''(x) < 0$, в этих точках функция имеет локальный максимум.

- Если $n$ — нечетное число, т.е. $n = 2k+1$, где $k \in \mathbb{Z}$, то $x = \frac{\pi}{2} + (2k+1)\pi = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$. $f''(\frac{3\pi}{2} + 2\pi k) = -\sin(\frac{3\pi}{2} + 2\pi k) = -\sin(\frac{3\pi}{2}) = -(-1) = 1$. Так как $f''(x) > 0$, в этих точках функция имеет локальный минимум.

Ответ: Точки локального максимума: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; точки локального минимума: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $g(x) = \cos(2x - \frac{\pi}{3}) - \sqrt{2}x$

1. Находим первую производную функции:

$g'(x) = (\cos(2x - \frac{\pi}{3}) - \sqrt{2}x)' = -\sin(2x - \frac{\pi}{3}) \cdot (2x - \frac{\pi}{3})' - \sqrt{2} = -2\sin(2x - \frac{\pi}{3}) - \sqrt{2}$

2. Находим критические точки, решая уравнение $g'(x) = 0$:

$-2\sin(2x - \frac{\pi}{3}) - \sqrt{2} = 0$

$\sin(2x - \frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Это уравнение распадается на две серии решений:

1) $2x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

$2x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{4\pi - 3\pi}{12} + 2\pi n = \frac{\pi}{12} + 2\pi n$

$x = \frac{\pi}{24} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) $2x - \frac{\pi}{3} = \pi - (-\frac{\pi}{4}) + 2\pi n = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

$2x = \frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{4} + 2\pi n = \frac{4\pi + 15\pi}{12} + 2\pi n = \frac{19\pi}{12} + 2\pi n$

$x = \frac{19\pi}{24} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

3. Используем вторую производную для определения типа экстремума:

$g''(x) = (-2\sin(2x - \frac{\pi}{3}) - \sqrt{2})' = -2\cos(2x - \frac{\pi}{3}) \cdot 2 = -4\cos(2x - \frac{\pi}{3})$

Проверим знак второй производной в найденных точках:

- Для серии $x = \frac{\pi}{24} + \pi n$, аргумент косинуса $2x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$. $g''(x) = -4\cos(-\frac{\pi}{4} + 2\pi n) = -4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -2\sqrt{2}$. Так как $g''(x) < 0$, это точки локального максимума.

- Для серии $x = \frac{19\pi}{24} + \pi n$, аргумент косинуса $2x - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$. $g''(x) = -4\cos(\frac{5\pi}{4} + 2\pi n) = -4 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 2\sqrt{2}$. Так как $g''(x) > 0$, это точки локального минимума.

Ответ: Точки локального максимума: $x = \frac{\pi}{24} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; точки локального минимума: $x = \frac{19\pi}{24} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) $h(x) = \sin(3x)\cos(\frac{3\pi}{7}) - \cos(3x)\sin(\frac{3\pi}{7}) + \frac{3\sqrt{3}}{2}x$

1. Сначала упростим выражение для функции, используя формулу синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$:

$h(x) = \sin(3x - \frac{3\pi}{7}) + \frac{3\sqrt{3}}{2}x$

2. Находим первую производную функции:

$h'(x) = (\sin(3x - \frac{3\pi}{7}) + \frac{3\sqrt{3}}{2}x)' = \cos(3x - \frac{3\pi}{7}) \cdot 3 + \frac{3\sqrt{3}}{2} = 3\cos(3x - \frac{3\pi}{7}) + \frac{3\sqrt{3}}{2}$

3. Находим критические точки, решая уравнение $h'(x) = 0$:

$3\cos(3x - \frac{3\pi}{7}) + \frac{3\sqrt{3}}{2} = 0$

$\cos(3x - \frac{3\pi}{7}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Это уравнение распадается на две серии решений:

1) $3x - \frac{3\pi}{7} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

$3x = \frac{5\pi}{6} + \frac{3\pi}{7} + 2\pi k = \frac{35\pi + 18\pi}{42} + 2\pi k = \frac{53\pi}{42} + 2\pi k$

$x = \frac{53\pi}{126} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$

2) $3x - \frac{3\pi}{7} = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

$3x = -\frac{5\pi}{6} + \frac{3\pi}{7} + 2\pi k = \frac{-35\pi + 18\pi}{42} + 2\pi k = -\frac{17\pi}{42} + 2\pi k$

$x = -\frac{17\pi}{126} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$

4. Используем вторую производную для определения типа экстремума:

$h''(x) = (3\cos(3x - \frac{3\pi}{7}) + \frac{3\sqrt{3}}{2})' = -3\sin(3x - \frac{3\pi}{7}) \cdot 3 = -9\sin(3x - \frac{3\pi}{7})$

Проверим знак второй производной в найденных точках:

- Для серии $x = \frac{53\pi}{126} + \frac{2\pi k}{3}$, аргумент синуса $3x - \frac{3\pi}{7} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$. $h''(x) = -9\sin(\frac{5\pi}{6} + 2\pi k) = -9 \cdot \frac{1}{2} = -\frac{9}{2}$. Так как $h''(x) < 0$, это точки локального максимума.

- Для серии $x = -\frac{17\pi}{126} + \frac{2\pi k}{3}$, аргумент синуса $3x - \frac{3\pi}{7} = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$. $h''(x) = -9\sin(-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k) = -9 \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{9}{2}$. Так как $h''(x) > 0$, это точки локального минимума.

Ответ: Точки локального максимума: $x = \frac{53\pi}{126} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$; точки локального минимума: $x = -\frac{17\pi}{126} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.