Номер 8, страница 91, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

8. (2) Найдите точки локальных экстремумов и значения экстремумов для следующих функций:

a) $f(x) = x + \frac{1}{x}$

б) $g(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$

в) $h(x) = \frac{(x-2)(8-x)}{x^2}$

г) $u(x) = \left(\frac{2x-1}{x}\right)^2$

а) Для функции $f(x) = x + \frac{1}{x}$.
1. Находим область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. Область определения: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
2. Находим производную функции:
$f'(x) = (x + \frac{1}{x})' = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2}$.
3. Находим критические точки. Для этого приравниваем производную к нулю и находим точки, в которых она не существует.
$f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{x^2 - 1}{x^2} = 0$.
$x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x_1 = -1, x_2 = 1$.
Производная не существует при $x=0$, но эта точка не входит в область определения функции.
Критические точки: $x=-1$ и $x=1$.
4. Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки и точки разрыва делят область определения: $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 1)$, $(1; +\infty)$.
- На интервале $(-\infty; -1)$: $f'(-2) = \frac{(-2)^2 - 1}{(-2)^2} = \frac{3}{4} > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(-1; 0)$: $f'(-0.5) = \frac{(-0.5)^2 - 1}{(-0.5)^2} = \frac{-0.75}{0.25} < 0$, функция убывает.
- На интервале $(0; 1)$: $f'(0.5) = \frac{(0.5)^2 - 1}{(0.5)^2} = \frac{-0.75}{0.25} < 0$, функция убывает.
- На интервале $(1; +\infty)$: $f'(2) = \frac{2^2 - 1}{2^2} = \frac{3}{4} > 0$, функция возрастает.
5. В точке $x=-1$ производная меняет знак с `+` на `-`, следовательно, это точка локального максимума. В точке $x=1$ производная меняет знак с `-` на `+`, следовательно, это точка локального минимума.
6. Находим значения экстремумов:
$f_{max} = f(-1) = -1 + \frac{1}{-1} = -2$.
$f_{min} = f(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2$.
Ответ: Точка локального максимума $x=-1$, значение максимума $f(-1)=-2$. Точка локального минимума $x=1$, значение минимума $f(1)=2$.

б) Для функции $g(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$.
1. Область определения функции: $D(g) = (-\infty; +\infty)$, так как знаменатель $x^2 + 1 > 0$ для всех $x$.
2. Находим производную функции по правилу дифференцирования частного:
$g'(x) = \frac{(x)'(x^2 + 1) - x(x^2 + 1)'}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 \cdot (x^2 + 1) - x \cdot (2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$.
3. Находим критические точки: $g'(x) = 0$.
$\frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2} = 0 \Rightarrow 1 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x_1 = -1, x_2 = 1$.
Производная существует на всей области определения.
4. Исследуем знак производной на интервалах: $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$, $(1; +\infty)$.
- На интервале $(-\infty; -1)$: $g'(-2) = \frac{1 - (-2)^2}{(...)^2} < 0$, функция убывает.
- На интервале $(-1; 1)$: $g'(0) = \frac{1 - 0^2}{(...)^2} > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(1; +\infty)$: $g'(2) = \frac{1 - 2^2}{(...)^2} < 0$, функция убывает.
5. В точке $x=-1$ производная меняет знак с `-` на `+`, это точка локального минимума. В точке $x=1$ производная меняет знак с `+` на `-`, это точка локального максимума.
6. Находим значения экстремумов:
$g_{min} = g(-1) = \frac{-1}{(-1)^2 + 1} = -\frac{1}{2}$.
$g_{max} = g(1) = \frac{1}{1^2 + 1} = \frac{1}{2}$.
Ответ: Точка локального минимума $x=-1$, значение минимума $g(-1)=-1/2$. Точка локального максимума $x=1$, значение максимума $g(1)=1/2$.

в) Для функции $h(x) = \frac{(x-2)(8-x)}{x^2}$.
1. Упростим выражение: $h(x) = \frac{8x - x^2 - 16 + 2x}{x^2} = \frac{-x^2 + 10x - 16}{x^2} = -1 + \frac{10}{x} - \frac{16}{x^2}$.
2. Область определения: $x \neq 0$, то есть $D(h) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
3. Находим производную:
$h'(x) = (-1 + 10x^{-1} - 16x^{-2})' = -10x^{-2} + 32x^{-3} = -\frac{10}{x^2} + \frac{32}{x^3} = \frac{32 - 10x}{x^3}$.
4. Находим критические точки: $h'(x) = 0$.
$\frac{32 - 10x}{x^3} = 0 \Rightarrow 32 - 10x = 0 \Rightarrow 10x = 32 \Rightarrow x = 3.2$.
Производная не существует при $x=0$, но эта точка не входит в область определения.
5. Исследуем знак производной на интервалах: $(-\infty; 0)$, $(0; 3.2)$, $(3.2; +\infty)$.
- На интервале $(-\infty; 0)$: $h'(-1) = \frac{32-10(-1)}{(-1)^3} = \frac{42}{-1} < 0$, функция убывает.
- На интервале $(0; 3.2)$: $h'(1) = \frac{32-10(1)}{1^3} = 22 > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(3.2; +\infty)$: $h'(4) = \frac{32-10(4)}{4^3} = \frac{-8}{64} < 0$, функция убывает.
6. В точке $x=3.2$ производная меняет знак с `+` на `-`, это точка локального максимума.
7. Находим значение максимума:
$h_{max} = h(3.2) = \frac{- (3.2)^2 + 10(3.2) - 16}{(3.2)^2} = \frac{-10.24 + 32 - 16}{10.24} = \frac{5.76}{10.24} = \frac{576}{1024} = \frac{9}{16}$.
Ответ: Точка локального максимума $x=3.2$, значение максимума $h(3.2)=9/16$. Локальных минимумов нет.

г) Для функции $u(x) = \left(\frac{2x-1}{x}\right)^2$.
1. Упростим выражение: $u(x) = \left(2 - \frac{1}{x}\right)^2$.
2. Область определения: $x \neq 0$, то есть $D(u) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
3. Находим производную по правилу дифференцирования сложной функции:
$u'(x) = 2\left(2 - \frac{1}{x}\right) \cdot \left(2 - \frac{1}{x}\right)' = 2\left(\frac{2x-1}{x}\right) \cdot \left(\frac{1}{x^2}\right) = \frac{2(2x-1)}{x^3}$.
4. Находим критические точки: $u'(x) = 0$.
$\frac{2(2x-1)}{x^3} = 0 \Rightarrow 2(2x-1) = 0 \Rightarrow 2x=1 \Rightarrow x = 0.5$.
Производная не существует при $x=0$, но эта точка не входит в область определения.
5. Исследуем знак производной на интервалах: $(-\infty; 0)$, $(0; 0.5)$, $(0.5; +\infty)$.
- На интервале $(-\infty; 0)$: $u'(-1) = \frac{2(2(-1)-1)}{(-1)^3} = \frac{-6}{-1} > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(0; 0.5)$: $u'(0.1) = \frac{2(2(0.1)-1)}{(0.1)^3} = \frac{2(-0.8)}{0.001} < 0$, функция убывает.
- На интервале $(0.5; +\infty)$: $u'(1) = \frac{2(2(1)-1)}{1^3} = 2 > 0$, функция возрастает.
6. В точке $x=0.5$ производная меняет знак с `-` на `+`, это точка локального минимума.
7. Находим значение минимума:
$u_{min} = u(0.5) = \left(\frac{2(0.5)-1}{0.5}\right)^2 = \left(\frac{1-1}{0.5}\right)^2 = 0^2 = 0$.
Ответ: Точка локального минимума $x=0.5$, значение минимума $u(0.5)=0$. Локальных максимумов нет.