Номер 11, страница 91, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

11. (3) Найдите критические точки функций:

a) $f(x) = -\sin x + 14\cos x - 12x - 18;$

б) $g(x) = \sin 4x - 2\sin 2x + 2\cos 2x - \cos 4\pi.$

а) $f(x) = -\sin x + 14\cos x - 12x - 18$

Критические точки – это внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует.

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как все слагаемые (синус, косинус, линейная функция) определены для любого действительного числа $x$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (-\sin x + 14\cos x - 12x - 18)' = (-\sin x)' + (14\cos x)' - (12x)' - (18)' = -\cos x - 14\sin x - 12$.

Производная $f'(x)$ существует для всех $x \in \mathbb{R}$. Следовательно, критические точки – это точки, в которых $f'(x) = 0$.

Решим уравнение $f'(x) = 0$:

$-\cos x - 14\sin x - 12 = 0$

$\cos x + 14\sin x = -12$

Для решения этого уравнения воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Пусть $t = \tan(x/2)$. Тогда $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ и $\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$. Эта подстановка не определена для $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$, поэтому эти точки нужно проверить отдельно, подставив в исходное уравнение.

Проверка: если $x = \pi$, то $\cos(\pi) + 14\sin(\pi) = -1 + 14 \cdot 0 = -1$. Так как $-1 \ne -12$, то $x = \pi + 2\pi k$ не являются решениями.

Подставим выражения для синуса и косинуса в уравнение:

$\frac{1-t^2}{1+t^2} + 14\left(\frac{2t}{1+t^2}\right) = -12$

Умножим обе части на $1+t^2$ (которое не равно нулю):

$1 - t^2 + 28t = -12(1+t^2)$

$1 - t^2 + 28t = -12 - 12t^2$

$11t^2 + 28t + 13 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $t$. Найдем его дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 28^2 - 4 \cdot 11 \cdot 13 = 784 - 572 = 212$.

Корни уравнения для $t$:

$t_{1,2} = \frac{-28 \pm \sqrt{212}}{2 \cdot 11} = \frac{-28 \pm 2\sqrt{53}}{22} = \frac{-14 \pm \sqrt{53}}{11}$.

Таким образом, мы имеем два значения для $t$:

$t_1 = \frac{-14 + \sqrt{53}}{11}$ и $t_2 = \frac{-14 - \sqrt{53}}{11}$.

Теперь сделаем обратную замену $t = \tan(x/2)$, чтобы найти $x$:

1) $\tan(x/2) = \frac{-14 + \sqrt{53}}{11} \Rightarrow x/2 = \arctan\left(\frac{-14 + \sqrt{53}}{11}\right) + \pi k \Rightarrow x = 2\arctan\left(\frac{-14 + \sqrt{53}}{11}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\tan(x/2) = \frac{-14 - \sqrt{53}}{11} \Rightarrow x/2 = \arctan\left(\frac{-14 - \sqrt{53}}{11}\right) + \pi k \Rightarrow x = 2\arctan\left(\frac{-14 - \sqrt{53}}{11}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2\arctan\left(\frac{-14 + \sqrt{53}}{11}\right) + 2\pi k$ и $x = 2\arctan\left(\frac{-14 - \sqrt{53}}{11}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $g(x) = \sin 4x - 2\sin 2x + 2\cos 2x - \cos 4\pi$

Сначала упростим выражение для функции. Так как $\cos(4\pi) = 1$, то:

$g(x) = \sin 4x - 2\sin 2x + 2\cos 2x - 1$.

Область определения функции $D(g) = (-\infty; +\infty)$, так как все ее компоненты определены на всей числовой оси.

Найдем производную функции $g(x)$:

$g'(x) = (\sin 4x - 2\sin 2x + 2\cos 2x - 1)' = 4\cos 4x - 2(2\cos 2x) + 2(-2\sin 2x) - 0 = 4\cos 4x - 4\cos 2x - 4\sin 2x$.

Производная $g'(x)$ существует для всех $x \in \mathbb{R}$. Критические точки – это точки, в которых $g'(x) = 0$.

Решим уравнение $g'(x) = 0$:

$4\cos 4x - 4\cos 2x - 4\sin 2x = 0$

Разделим обе части на 4:

$\cos 4x - \cos 2x - \sin 2x = 0$

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 4x = \cos^2 2x - \sin^2 2x$:

$\cos^2 2x - \sin^2 2x - (\cos 2x + \sin 2x) = 0$

Разложим разность квадратов $\cos^2 2x - \sin^2 2x = (\cos 2x - \sin 2x)(\cos 2x + \sin 2x)$:

$(\cos 2x - \sin 2x)(\cos 2x + \sin 2x) - (\cos 2x + \sin 2x) = 0$

Вынесем общий множитель $(\cos 2x + \sin 2x)$ за скобки:

$(\cos 2x + \sin 2x)(\cos 2x - \sin 2x - 1) = 0$.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1) $\cos 2x + \sin 2x = 0$

2) $\cos 2x - \sin 2x - 1 = 0$

Решим первое уравнение: $\cos 2x + \sin 2x = 0$. Поделим на $\cos 2x$ (он не равен нулю, иначе $\sin 2x$ тоже был бы равен нулю, что невозможно):

$1 + \tan 2x = 0 \Rightarrow \tan 2x = -1$

$2x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$

$x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Решим второе уравнение: $\cos 2x - \sin 2x = 1$.

Воспользуемся методом вспомогательного угла. Умножим и разделим левую часть на $\sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$:

$\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos 2x - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin 2x\right) = 1$

Заметим, что $\frac{1}{\sqrt{2}} = \cos\frac{\pi}{4}$ и $\frac{1}{\sqrt{2}} = \sin\frac{\pi}{4}$.

$\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}\cos 2x - \sin\frac{\pi}{4}\sin 2x\right) = 1$

По формуле косинуса суммы $\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$:

$\sqrt{2}\cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) = 1$

$\cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Это уравнение дает две серии решений:

а) $2x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \Rightarrow 2x = 2\pi k \Rightarrow x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $2x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \Rightarrow 2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя все найденные серии решений, получаем полный набор критических точек.

Ответ: $x = \pi k$; $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$; $x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.