Номер 18, страница 92, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

18. (2) Найдите точки экстремума функции $y = -x^3 - 9x^2 - 3x + 100$ на интервале $\left(-6; -\frac{1}{5}\right)$.

Для нахождения точек экстремума функции на заданном интервале необходимо найти ее производную, приравнять производную к нулю для нахождения критических точек, а затем проверить, какие из этих точек принадлежат заданному интервалу.

Дана функция $y = -x^3 - 9x^2 - 3x + 100$.

1. Находим производную функции: $y' = (-x^3 - 9x^2 - 3x + 100)' = -3x^2 - 18x - 3$.

2. Находим критические точки, приравняв производную к нулю: $-3x^2 - 18x - 3 = 0$.
Разделим обе части уравнения на $-3$:
$x^2 + 6x + 1 = 0$.

3. Решаем полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 36 - 4 = 32$.
$\sqrt{D} = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$.
Корни уравнения (критические точки):
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm 4\sqrt{2}}{2} = -3 \pm 2\sqrt{2}$.
Критические точки: $x_1 = -3 - 2\sqrt{2}$ и $x_2 = -3 + 2\sqrt{2}$.

4. Проверяем, принадлежат ли найденные точки интервалу $(-6; -\frac{1}{5})$.
Переведем правую границу интервала в десятичную дробь: $-\frac{1}{5} = -0.2$. Интервал: $(-6; -0.2)$.
Оценим значение $x_1 = -3 - 2\sqrt{2}$. Приближенно $\sqrt{2} \approx 1.414$.
$x_1 \approx -3 - 2(1.414) = -3 - 2.828 = -5.828$.
Значение $-5.828$ находится внутри интервала $(-6; -0.2)$, так как $-6 < -5.828 < -0.2$. Следовательно, точка $x_1 = -3 - 2\sqrt{2}$ является точкой экстремума на данном интервале.

Оценим значение $x_2 = -3 + 2\sqrt{2}$.
$x_2 \approx -3 + 2(1.414) = -3 + 2.828 = -0.172$.
Значение $-0.172$ не входит в интервал $(-6; -0.2)$, так как $-0.172 > -0.2$.

Таким образом, на заданном интервале есть только одна точка экстремума. Это точка $x = -3 - 2\sqrt{2}$. При переходе через эту точку производная $y' = -3x^2 - 18x - 3$ меняет знак с минуса на плюс (так как это парабола с ветвями вниз), следовательно, это точка минимума.

Ответ: $-3 - 2\sqrt{2}$.