Номер 22, страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

22. (2) Найти точки локальных экстремумов и значения экстремумов для

функции $h(x)=\sqrt{3} \arccos x-2\sqrt{1-x^2}$.

Для нахождения точек локальных экстремумов и значений экстремумов функции $h(x) = \sqrt{3}\arccos x - 2\sqrt{1-x^2}$ выполним следующие шаги.

Нахождение области определения функции

Функция $h(x)$ состоит из двух слагаемых: $\sqrt{3}\arccos x$ и $-2\sqrt{1-x^2}$. Область определения функции $\arccos x$ - это отрезок $[-1, 1]$. Область определения функции $\sqrt{1-x^2}$ задается условием $1-x^2 \ge 0$, что эквивалентно $x^2 \le 1$, то есть $x \in [-1, 1]$. Следовательно, область определения функции $h(x)$ есть пересечение этих областей, то есть $D(h) = [-1, 1]$.

Нахождение производной функции

Найдем производную функции $h(x)$ по $x$. Используем известные производные: $(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ и $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$.

$h'(x) = (\sqrt{3}\arccos x - 2\sqrt{1-x^2})' = \sqrt{3}(\arccos x)' - 2(\sqrt{1-x^2})'$

$h'(x) = \sqrt{3} \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) - 2 \left(\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{2x}{\sqrt{1-x^2}}$

$h'(x) = \frac{2x - \sqrt{3}}{\sqrt{1-x^2}}$

Производная существует на интервале $(-1, 1)$.

Нахождение критических точек

Критические точки - это точки из области определения, в которых производная равна нулю или не существует.

Приравняем производную к нулю: $h'(x) = 0$.

$\frac{2x - \sqrt{3}}{\sqrt{1-x^2}} = 0$

Это уравнение равносильно тому, что числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$2x - \sqrt{3} = 0 \implies 2x = \sqrt{3} \implies x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Поскольку $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $x = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$. Это значение принадлежит интервалу $(-1, 1)$. Таким образом, $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ - стационарная точка.

Производная не существует в точках, где знаменатель равен нулю: $\sqrt{1-x^2} = 0$, то есть при $x = -1$ и $x = 1$. Эти точки являются граничными точками области определения и также являются критическими точками.

Исследование знака производной и определение промежутков монотонности

Исследуем знак производной $h'(x) = \frac{2x - \sqrt{3}}{\sqrt{1-x^2}}$ на интервалах, на которые область определения $(-1, 1)$ разбивается критической точкой $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Знаменатель $\sqrt{1-x^2}$ всегда положителен на интервале $(-1, 1)$, поэтому знак производной определяется знаком числителя $2x - \sqrt{3}$.

- На интервале $\left(-1, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$: возьмем пробную точку $x=0$. $h'(0) = \frac{2(0) - \sqrt{3}}{\sqrt{1-0^2}} = -\sqrt{3} < 0$. Следовательно, функция $h(x)$ убывает на отрезке $\left[-1, \frac{\sqrt{3}}{2}\right]$.

- На интервале $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right)$: $2x - \sqrt{3} > 0$. Следовательно, $h'(x)>0$ и функция $h(x)$ возрастает на отрезке $\left[\frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right]$.

Определение точек экстремума и значений экстремумов

Поскольку в точке $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ производная меняет знак с минуса на плюс, эта точка является точкой локального минимума.

Граничные точки области определения $x=-1$ и $x=1$ являются точками локальных экстремумов. Так как на отрезке $\left[-1, \frac{\sqrt{3}}{2}\right]$ функция убывает, точка $x=-1$ является точкой локального максимума. Так как на отрезке $\left[\frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right]$ функция возрастает, точка $x=1$ является точкой локального максимума.

Найдем значения функции в этих точках:

- Значение в точке локального минимума $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$h\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \sqrt{3}\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - 2\sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{3} \cdot \frac{\pi}{6} - 2\sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \frac{\pi\sqrt{3}}{6} - 2\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{\pi\sqrt{3}}{6} - 2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{\pi\sqrt{3}}{6} - 1$.

- Значение в точке локального максимума $x = -1$:

$h(-1) = \sqrt{3}\arccos(-1) - 2\sqrt{1 - (-1)^2} = \sqrt{3} \cdot \pi - 2\sqrt{0} = \pi\sqrt{3}$.

- Значение в точке локального максимума $x = 1$:

$h(1) = \sqrt{3}\arccos(1) - 2\sqrt{1 - 1^2} = \sqrt{3} \cdot 0 - 2\sqrt{0} = 0$.

Ответ:
Точка локального максимума $x = -1$, значение экстремума $h_{max} = h(-1) = \pi\sqrt{3}$.
Точка локального максимума $x = 1$, значение экстремума $h_{max} = h(1) = 0$.
Точка локального минимума $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, значение экстремума $h_{min} = h\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi\sqrt{3}}{6} - 1$.