Номер 26, страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

26. (3) При каких значениях параметра $p$ функция $f(x)=-\frac{x^3}{3}-\frac{(p+5)}{2}x^2+5px+9$ не имеет точек экстремума?

Для того чтобы функция не имела точек экстремума, ее производная не должна менять знак. Точки экстремума (локальные минимумы и максимумы) существуют только в тех точках, где производная равна нулю и при переходе через эту точку меняет свой знак.

Найдем производную данной функции $f(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{(p+5)}{2}x^2 + 5px + 9$.

$f'(x) = \left(\frac{x^3}{3}\right)' - \left(\frac{(p+5)}{2}x^2\right)' + (5px)' + (9)' = \frac{3x^2}{3} - \frac{(p+5)}{2} \cdot 2x + 5p + 0$

$f'(x) = x^2 - (p+5)x + 5p$

Производная $f'(x)$ представляет собой квадратичную функцию. Чтобы исходная функция $f(x)$ не имела экстремумов, ее производная $f'(x)$ должна быть всегда одного знака (неотрицательной или неположительной). Так как коэффициент при $x^2$ в выражении для $f'(x)$ равен 1 (положительный), ветви параболы $y = f'(x)$ направлены вверх. Следовательно, $f'(x)$ будет всегда неотрицательной ($f'(x) \ge 0$) в том случае, если квадратное уравнение $f'(x) = 0$ имеет не более одного действительного корня (один корень или не имеет корней).

Условием того, что квадратное уравнение имеет не более одного действительного корня, является неположительность его дискриминанта ($D \le 0$).

Найдем дискриминант уравнения $x^2 - (p+5)x + 5p = 0$:

$D = (-(p+5))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (5p) = (p+5)^2 - 20p$

$D = p^2 + 10p + 25 - 20p = p^2 - 10p + 25$

Теперь решим неравенство $D \le 0$ относительно параметра $p$:

$p^2 - 10p + 25 \le 0$

Заметим, что выражение в левой части является полным квадратом разности:

$(p-5)^2 \le 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(p-5)^2 \ge 0$ для любого $p$. Поэтому неравенство $(p-5)^2 \le 0$ выполняется только в одном случае, когда $(p-5)^2 = 0$.

Отсюда находим значение $p$:

$p-5 = 0$

$p = 5$

Таким образом, только при значении параметра $p=5$ функция не будет иметь точек экстремума.

Ответ: $p=5$.