Номер 23, страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

23. (1) Функция $f(x)=(x-11)(x-100)^2(x-8)^7$ является производной от некоторой функции $F(x)$. Определите точки локальных экстремумов функции $F(x)$.

(1) Точки локальных экстремумов функции $F(x)$ — это точки из области определения функции, в которых ее производная $F'(x)$ равна нулю или не существует, и при переходе через которые производная меняет свой знак.

По условию задачи, функция $f(x) = (x-11)(x-100)^2(x-8)^7$ является производной от функции $F(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$.

Сначала найдем критические точки функции $F(x)$, то есть точки, в которых ее производная равна нулю. Поскольку $F'(x)$ является полиномом, она существует при всех значениях $x$.

Приравняем производную к нулю:

$F'(x) = (x-11)(x-100)^2(x-8)^7 = 0$

Корнями этого уравнения являются $x=11$, $x=100$ и $x=8$. Это и есть критические точки функции $F(x)$.

Теперь исследуем знак производной $F'(x)$ на интервалах, которые образуются этими точками на числовой оси: $(-\infty; 8)$, $(8; 11)$, $(11; 100)$ и $(100; \infty)$. Для этого воспользуемся методом интервалов.

Знак производной $F'(x)$ зависит от знаков множителей $(x-11)$, $(x-100)^2$ и $(x-8)^7$.

• Множитель $(x-100)^2$ всегда неотрицателен (поскольку возводится в четную степень), и он не влияет на смену знака производной при переходе через точку $x=100$.
• Знак множителя $(x-8)^7$ совпадает со знаком выражения $(x-8)$, так как он возводится в нечетную степень.
• Знак множителя $(x-11)$ меняется в точке $x=11$.

Определим знаки $F'(x)$ на интервалах:

1. Интервал $(-\infty; 8)$: Возьмем пробную точку, например, $x=0$.
$(0-11) < 0$ (знак "-")
$(0-100)^2 > 0$ (знак "+")
$(0-8)^7 < 0$ (знак "-")
Итоговый знак $F'(x)$: $(-) \cdot (+) \cdot (-) = (+)$. Функция $F(x)$ возрастает.

2. Интервал $(8; 11)$: Возьмем пробную точку, например, $x=10$.
$(10-11) < 0$ (знак "-")
$(10-100)^2 > 0$ (знак "+")
$(10-8)^7 > 0$ (знак "+")
Итоговый знак $F'(x)$: $(-) \cdot (+) \cdot (+) = (-)$. Функция $F(x)$ убывает.

3. Интервал $(11; 100)$: Возьмем пробную точку, например, $x=20$.
$(20-11) > 0$ (знак "+")
$(20-100)^2 > 0$ (знак "+")
$(20-8)^7 > 0$ (знак "+")
Итоговый знак $F'(x)$: $(+) \cdot (+) \cdot (+) = (+)$. Функция $F(x)$ возрастает.

4. Интервал $(100; \infty)$: Возьмем пробную точку, например, $x=101$.
$(101-11) > 0$ (знак "+")
$(101-100)^2 > 0$ (знак "+")
$(101-8)^7 > 0$ (знак "+")
Итоговый знак $F'(x)$: $(+) \cdot (+) \cdot (+) = (+)$. Функция $F(x)$ возрастает.

Теперь проанализируем поведение функции в критических точках:

• В точке $x=8$ знак производной $F'(x)$ меняется с плюса на минус ($+\to-$). Следовательно, $x=8$ является точкой локального максимума.

• В точке $x=11$ знак производной $F'(x)$ меняется с минуса на плюс ($-\to+$). Следовательно, $x=11$ является точкой локального минимума.

• При переходе через точку $x=100$ знак производной $F'(x)$ не меняется (остается положительным). Следовательно, $x=100$ не является точкой локального экстремума.

Ответ: точка локального максимума $x=8$, точка локального минимума $x=11$.