Номер 24, страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

24. (3) Найти критические точки функций:

a) $g(x)=5\cos \left(3x-\frac{\pi }{6}\right)-3\cos \left(5x+\frac{\pi }{3}\right)$;

б) $h(x)=\frac{1}{3}\cos 3x+\frac{1}{7}\cos 7x-\frac{2}{5}\cos 5x-\frac{2}{7}.$

а) Чтобы найти критические точки функции $g(x)=5\cos(3x-\frac{\pi}{6})-3\cos(5x+\frac{\pi}{3})$, нужно найти точки из области определения, в которых ее производная равна нулю или не существует.

Функция $g(x)$ определена и дифференцируема на всей числовой прямой, так как является комбинацией тригонометрических функций. Найдем ее производную $g'(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции:

$g'(x) = (5\cos(3x-\frac{\pi}{6})-3\cos(5x+\frac{\pi}{3}))'$

$g'(x) = 5(-\sin(3x-\frac{\pi}{6})) \cdot (3x-\frac{\pi}{6})' - 3(-\sin(5x+\frac{\pi}{3})) \cdot (5x+\frac{\pi}{3})'$

$g'(x) = -5\sin(3x-\frac{\pi}{6}) \cdot 3 + 3\sin(5x+\frac{\pi}{3}) \cdot 5$

$g'(x) = 15\sin(5x+\frac{\pi}{3}) - 15\sin(3x-\frac{\pi}{6})$

Поскольку производная существует для всех действительных $x$, критические точки - это стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю. Приравняем производную к нулю:

$15\sin(5x+\frac{\pi}{3}) - 15\sin(3x-\frac{\pi}{6}) = 0$

$\sin(5x+\frac{\pi}{3}) = \sin(3x-\frac{\pi}{6})$

Равенство $\sin\alpha = \sin\beta$ выполняется в двух случаях ($k \in \mathbb{Z}$):

1) $\alpha = \beta + 2\pi k$

$5x+\frac{\pi}{3} = 3x-\frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$2x = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

$2x = -\frac{3\pi}{6} + 2\pi k$

$2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

2) $\alpha = \pi - \beta + 2\pi k$

$5x+\frac{\pi}{3} = \pi - (3x-\frac{\pi}{6}) + 2\pi k$

$5x+\frac{\pi}{3} = \pi - 3x + \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$8x = \pi + \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

$8x = \frac{6\pi+\pi-2\pi}{6} + 2\pi k$

$8x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$

$x = \frac{5\pi}{48} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{5\pi}{48} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$.

б) Найдем критические точки функции $h(x)=\frac{1}{3}\cos3x+\frac{1}{7}\cos7x-\frac{2}{5}\cos5x-\frac{2}{7}$.

Функция $h(x)$ определена и дифференцируема на всей числовой прямой. Найдем ее производную $h'(x)$:

$h'(x) = (\frac{1}{3}\cos3x+\frac{1}{7}\cos7x-\frac{2}{5}\cos5x-\frac{2}{7})'$

$h'(x) = \frac{1}{3}(-\sin3x) \cdot 3 + \frac{1}{7}(-\sin7x) \cdot 7 - \frac{2}{5}(-\sin5x) \cdot 5 - 0$

$h'(x) = -\sin3x - \sin7x + 2\sin5x$

Приравняем производную к нулю, так как она существует во всех точках:

$2\sin5x - \sin7x - \sin3x = 0$

$2\sin5x - (\sin7x + \sin3x) = 0$

Воспользуемся формулой суммы синусов $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$\sin7x + \sin3x = 2\sin\frac{7x+3x}{2}\cos\frac{7x-3x}{2} = 2\sin5x\cos2x$

Подставим это выражение в уравнение:

$2\sin5x - 2\sin5x\cos2x = 0$

$2\sin5x(1-\cos2x) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1) $\sin5x = 0$

$5x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$

2) $1 - \cos2x = 0$

$\cos2x = 1$

$2x = 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$

$x = \pi m, m \in \mathbb{Z}$

Заметим, что вторая серия решений является подмножеством первой. Действительно, любое решение вида $x = \pi m$ можно представить в виде $\frac{\pi n}{5}$, если взять $n=5m$. Так как $m$ - целое число, $n=5m$ также будет целым. Следовательно, все решения второго случая уже содержатся в решениях первого случая.

Таким образом, все критические точки описываются одной серией решений.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$.