Номер 25, страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

25. (3) При каких значениях параметра $a$ точка $x = -50$ является критической для функции $y=ax^2 + 4a^3x-1$? При каждом из найденных значений $a$ выясните точкой максимума или точкой минимума является $x=-50$ для данной функции.

Критическая точка функции — это внутренняя точка области определения, в которой её производная равна нулю или не существует. Данная функция $y(x) = ax^2 + 4a^3x - 1$ является многочленом, поэтому она определена и дифференцируема на всей числовой оси. Следовательно, её критическими точками могут быть только те точки, в которых производная обращается в ноль.

При каких значениях параметра $a$ точка $x=-50$ является критической для функции $y=ax^2+4a^3x-1$?

Сначала найдем производную функции $y(x)$ по переменной $x$:
$y'(x) = (ax^2 + 4a^3x - 1)' = 2ax + 4a^3$.

Точка $x=-50$ будет критической, если производная в этой точке равна нулю, то есть $y'(-50) = 0$. Подставим $x=-50$ в выражение для производной и решим полученное уравнение относительно $a$:
$y'(-50) = 2a(-50) + 4a^3 = 0$
$-100a + 4a^3 = 0$
$4a(a^2 - 25) = 0$
$4a(a - 5)(a + 5) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем три возможных значения параметра $a$:
$a_1 = 0$
$a_2 = 5$
$a_3 = -5$

Таким образом, точка $x=-50$ является критической при $a \in \{-5, 0, 5\}$.

При каждом из найденных значений $a$ выясните точкой максимума или точкой минимума является $x=-50$ для данной функции.

Для определения характера критической точки воспользуемся тестом по второй производной. Найдем вторую производную функции $y(x)$:
$y''(x) = (2ax + 4a^3)' = 2a$.

Знак второй производной в критической точке определяет тип экстремума: если $y''(x_0) > 0$, то $x_0$ — точка минимума; если $y''(x_0) < 0$, то $x_0$ — точка максимума. Если $y''(x_0) = 0$, то тест не дает однозначного ответа и требуется дополнительное исследование.

Рассмотрим каждый найденный случай для $a$:

1. При $a = 0$
Функция принимает вид $y = 0 \cdot x^2 + 4 \cdot 0^3 \cdot x - 1$, то есть $y = -1$. Это постоянная функция.
Вторая производная $y''(x) = 2a = 2 \cdot 0 = 0$. Тест по второй производной неинформативен.
Поскольку функция является константой, ее значение во всех точках одинаково. Точка $x=-50$ не является ни точкой локального максимума, ни точкой локального минимума.

2. При $a = 5$
Вторая производная $y''(x) = 2a = 2 \cdot 5 = 10$.
Так как $y''(-50) = 10 > 0$, то в точке $x=-50$ функция имеет минимум.

3. При $a = -5$
Вторая производная $y''(x) = 2a = 2 \cdot (-5) = -10$.
Так как $y''(-50) = -10 < 0$, то в точке $x=-50$ функция имеет максимум.

Ответ: Точка $x=-50$ является критической при $a \in \{-5, 0, 5\}$. При $a=-5$ точка $x=-50$ является точкой максимума; при $a=5$ точка $x=-50$ является точкой минимума; при $a=0$ точка $x=-50$ является критической, но не является точкой экстремума.