Номер 19, страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

19. (2)

Найдите значение функции $f(x)=(x-2)^4(11-x)^5$ в точке ее локального минимума.

19. (2)

Для нахождения значения функции в точке ее локального минимума, необходимо сначала найти эту точку. Точки локальных экстремумов (минимумов и максимумов) являются критическими точками функции, то есть точками, в которых ее производная равна нулю или не существует.

Заданная функция: $f(x) = (x-2)^4(11-x)^5$.Найдем ее производную, используя правило дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.Пусть $u(x) = (x-2)^4$ и $v(x) = (11-x)^5$.Тогда их производные:
$u'(x) = 4(x-2)^3 \cdot (x-2)' = 4(x-2)^3$.
$v'(x) = 5(11-x)^4 \cdot (11-x)' = 5(11-x)^4 \cdot (-1) = -5(11-x)^4$.

Производная функции $f(x)$ равна:
$f'(x) = u'v + uv' = 4(x-2)^3(11-x)^5 + (x-2)^4(-5(11-x)^4)$.

Для удобства нахождения корней, вынесем общие множители $(x-2)^3$ и $(11-x)^4$ за скобку:
$f'(x) = (x-2)^3(11-x)^4[4(11-x) - 5(x-2)]$.
Упростим выражение в квадратных скобках:
$4(11-x) - 5(x-2) = 44 - 4x - 5x + 10 = 54 - 9x = 9(6-x)$.

Таким образом, производная принимает вид:
$f'(x) = 9(x-2)^3(11-x)^4(6-x)$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
$9(x-2)^3(11-x)^4(6-x) = 0$.
Корни этого уравнения (критические точки): $x_1=2$, $x_2=6$, $x_3=11$.

Теперь исследуем знак производной в окрестности каждой критической точки, чтобы определить характер экстремума.Знак производной определяется знаками множителей $(x-2)^3$ и $(6-x)$, так как $9 > 0$ и $(11-x)^4 \ge 0$ при всех $x$.
- При переходе через точку $x=2$: слева ($x<2$) множитель $(x-2)^3$ отрицателен, а справа ($x>2$) — положителен. Множитель $(6-x)$ положителен в окрестности $x=2$. Следовательно, производная меняет знак с «-» на «+». Значит, $x=2$ — точка локального минимума.
- При переходе через точку $x=6$: множитель $(x-2)^3$ положителен в окрестности $x=6$, а множитель $(6-x)$ меняет знак с «+» (при $x<6$) на «-» (при $x>6$). Следовательно, производная меняет знак с «+» на «-». Значит, $x=6$ — точка локального максимума.
- При переходе через точку $x=11$: множитель $(11-x)^4$ не меняет знак (он равен нулю в точке и положителен в ее окрестности). Остальные множители в окрестности $x=11$ не меняют знак. Производная слева и справа от $x=11$ отрицательна. Значит, в точке $x=11$ экстремума нет.

Итак, единственная точка локального минимума функции — это $x=2$.Найдем значение функции в этой точке, подставив $x=2$ в исходное выражение для $f(x)$:
$f(2) = (2-2)^4(11-2)^5 = 0^4 \cdot 9^5 = 0 \cdot 59049 = 0$.

Ответ: 0