Номер 15, страница 92, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

15. (3) На рисунке 6 изображен график производной $f'(x)$ функции $f(x)$, $D(f):(-5;6)$.

а) Укажите критические точки функции $f(x)$.

Рис. 6

б) Укажите интервалы монотонности функции $f(x)$.

в) Укажите точки локальных экстремумов функции $f(x)$.

а) Укажите критические точки функции f(x).

Критическими точками функции $f(x)$ называются внутренние точки области определения, в которых ее производная $f'(x)$ равна нулю или не существует. На изображении представлен график производной $f'(x)$, которая определена на всем интервале $D(f):(-5;6)$. Следовательно, критическими точками будут те значения $x$, для которых выполняется условие $f'(x) = 0$.

На графике видно, что производная $f'(x)$ пересекает ось абсцисс (то есть равна нулю) в точках: $x = -4$, $x = -1$, $x = 2$ и $x = 5$.

Ответ: критические точки функции $f(x)$ это $x = -4$, $x = -1$, $x = 2$, $x = 5$.

б) Укажите интервалы монотонности функции f(x).

Интервалы монотонности функции $f(x)$ определяются знаком её производной $f'(x)$.

1. Функция $f(x)$ возрастает на тех интервалах, где её производная положительна ($f'(x) > 0$). По графику видно, что $f'(x)$ больше нуля (график расположен выше оси $Ox$) на интервалах $(-4; -1)$ и $(2; 5)$.

2. Функция $f(x)$ убывает на тех интервалах, где её производная отрицательна ($f'(x) < 0$). По графику видно, что $f'(x)$ меньше нуля (график расположен ниже оси $Ox$) на интервалах $(-5; -4)$, $(-1; 2)$ и $(5; 6)$.

Ответ: функция возрастает на интервалах $(-4; -1)$ и $(2; 5)$; функция убывает на интервалах $(-5; -4)$, $(-1; 2)$ и $(5; 6)$.

в) Укажите точки локальных экстремумов функции f(x).

Точки локальных экстремумов (максимумов и минимумов) функции $f(x)$ находятся среди её критических точек. Для определения типа экстремума необходимо проанализировать, как меняется знак производной $f'(x)$ при переходе через критическую точку.

1. Точка локального минимума: производная $f'(x)$ меняет знак с минуса на плюс. Такое изменение знака происходит в точках $x = -4$ (знак меняется с $-$ на $+$) и $x = 2$ (знак меняется с $-$ на $+$).

2. Точка локального максимума: производная $f'(x)$ меняет знак с плюса на минус. Такое изменение знака происходит в точках $x = -1$ (знак меняется с $+$ на $-$) и $x = 5$ (знак меняется с $+$ на $-$).

Ответ: точки локального минимума: $x = -4$, $x = 2$; точки локального максимума: $x = -1$, $x = 5$.