Номер 10, страница 91, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

10. (1)
Функция $f(x)=-3x^2+10x-3$ является производной от некоторой функции $F(x)$. Определите точки локальных экстремумов функции $F(x)$.

10. (1)

По условию, функция $f(x) = -3x^2 + 10x - 3$ является производной от некоторой функции $F(x)$. Это означает, что $F'(x) = f(x)$.

Для нахождения точек локальных экстремумов функции $F(x)$ необходимо найти ее критические точки. Критические точки — это точки, в которых производная $F'(x)$ равна нулю или не существует. Так как $F'(x) = -3x^2 + 10x - 3$ является многочленом, она определена для всех действительных чисел $x$.

Найдем точки, в которых производная равна нулю, решив уравнение $F'(x) = 0$:

$f(x) = -3x^2 + 10x - 3 = 0$

Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы сделать коэффициент при $x^2$ положительным:

$3x^2 - 10x + 3 = 0$

Найдем дискриминант $D$ квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$

Таким образом, мы нашли две критические точки функции $F(x)$: $x = \frac{1}{3}$ и $x = 3$.

Теперь определим, являются ли эти точки точками максимума или минимума. Для этого исследуем знак производной $F'(x) = f(x)$ на интервалах, на которые критические точки разбивают числовую ось: $(-\infty; \frac{1}{3})$, $(\frac{1}{3}; 3)$ и $(3; +\infty)$.

Функция $f(x) = -3x^2 + 10x - 3$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-3 < 0$). Следовательно, функция $f(x)$ положительна между корнями и отрицательна вне этого интервала.

- На интервале $(-\infty; \frac{1}{3})$ производная $F'(x) = f(x)$ отрицательна, значит, функция $F(x)$ убывает.
- На интервале $(\frac{1}{3}; 3)$ производная $F'(x) = f(x)$ положительна, значит, функция $F(x)$ возрастает.
- На интервале $(3; +\infty)$ производная $F'(x) = f(x)$ отрицательна, значит, функция $F(x)$ снова убывает.

Проанализируем смену знака производной в критических точках:
- В точке $x = \frac{1}{3}$ производная меняет знак с минуса на плюс (убывание сменяется возрастанием), следовательно, это точка локального минимума функции $F(x)$.
- В точке $x = 3$ производная меняет знак с плюса на минус (возрастание сменяется убыванием), следовательно, это точка локального максимума функции $F(x)$.

Ответ: Точка локального минимума функции $F(x)$ — $x = \frac{1}{3}$, точка локального максимума — $x = 3$.