Номер 9, страница 91, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

9. (1) а) Найдите точки локальных экстремумов и значения экстремумов

для функции $g(x)=-\frac{1}{4}x+\sqrt{4-x}$.

(2) б) Даны положительные числа $a$ и $b$. Найдите точки локальных экстремумов и значения экстремумов для функции $g(x)=ax+\sqrt{b-x}$.

а)

Дана функция $g(x) = \frac{1}{4}x + \sqrt{4-x}$.

1. Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным, то есть $4-x \ge 0$, откуда $x \le 4$. Таким образом, область определения функции $D(g) = (-\infty, 4]$.

2. Найдем производную функции $g(x)$:$g'(x) = (\frac{1}{4}x + \sqrt{4-x})' = \frac{1}{4} - \frac{1}{2\sqrt{4-x}}$.Производная определена для всех $x < 4$.

3. Найдем стационарные точки, приравняв производную к нулю: $g'(x) = 0$.$\frac{1}{4} - \frac{1}{2\sqrt{4-x}} = 0$$\frac{1}{4} = \frac{1}{2\sqrt{4-x}}$$2\sqrt{4-x} = 4$$\sqrt{4-x} = 2$Возведя обе части в квадрат, получаем $4-x=4$, откуда $x=0$. Эта точка принадлежит области определения.

4. Исследуем знак производной на интервалах, на которые точка $x=0$ делит область определения: $(-\infty, 0)$ и $(0, 4)$.- На интервале $(-\infty, 0)$ производная $g'(x) > 0$ (например, для $x=-5$, $g'(-5) = \frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{1}{12} > 0$), следовательно, функция возрастает.- На интервале $(0, 4)$ производная $g'(x) < 0$ (например, для $x=3$, $g'(3) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4} < 0$), следовательно, функция убывает.Так как в точке $x=0$ производная меняет знак с плюса на минус, эта точка является точкой локального максимума.

5. Значение функции в точке локального максимума:$g(0) = \frac{1}{4}(0) + \sqrt{4-0} = 2$.

6. Рассмотрим граничную точку области определения $x=4$. В этой точке производная не определена. Поскольку функция убывает на интервале $(0, 4)$, при приближении к $x=4$ слева значения функции уменьшаются, следовательно, точка $x=4$ является точкой локального минимума.Значение функции в точке локального минимума:$g(4) = \frac{1}{4}(4) + \sqrt{4-4} = 1$.

Ответ: точка локального максимума $x=0$, значение максимума $g_{max}=2$; точка локального минимума $x=4$, значение минимума $g_{min}=1$.

б)

Дана функция $g(x) = ax + \sqrt{b-x}$ и положительные числа $a$ и $b$.

1. Область определения функции находится из условия $b-x \ge 0$, что дает $x \le b$. Итак, $D(g) = (-\infty, b]$.

2. Найдем производную функции:$g'(x) = (ax + \sqrt{b-x})' = a - \frac{1}{2\sqrt{b-x}}$.Производная определена при $x < b$.

3. Найдем стационарные точки из уравнения $g'(x) = 0$:$a - \frac{1}{2\sqrt{b-x}} = 0 \implies a = \frac{1}{2\sqrt{b-x}}$.Так как $a>0$, можем выразить $x$:$\sqrt{b-x} = \frac{1}{2a}$$b-x = \frac{1}{4a^2}$$x = b - \frac{1}{4a^2}$.Обозначим эту точку $x_0 = b - \frac{1}{4a^2}$. Поскольку $a>0$, то $\frac{1}{4a^2}>0$, значит $x_0 < b$. Эта точка является внутренней точкой области определения.

4. Исследуем знак производной.- Если $x < x_0$, то $b-x > b-x_0 = \frac{1}{4a^2}$. Отсюда $\sqrt{b-x} > \frac{1}{2a}$, и $a > \frac{1}{2\sqrt{b-x}}$, поэтому $g'(x) > 0$. Функция возрастает.- Если $x_0 < x < b$, то $b-x < b-x_0 = \frac{1}{4a^2}$. Отсюда $\sqrt{b-x} < \frac{1}{2a}$, и $a < \frac{1}{2\sqrt{b-x}}$, поэтому $g'(x) < 0$. Функция убывает.В точке $x_0$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка локального максимума.

5. Найдем значение локального максимума:$g(x_0) = g(b - \frac{1}{4a^2}) = a(b - \frac{1}{4a^2}) + \sqrt{b - (b - \frac{1}{4a^2})} = ab - \frac{1}{4a} + \sqrt{\frac{1}{4a^2}} = ab - \frac{1}{4a} + \frac{1}{2a} = ab + \frac{1}{4a}$.

6. На границе области определения в точке $x=b$ производная не определена. Так как функция убывает на интервале $(x_0, b)$, точка $x=b$ является точкой локального минимума.Найдем значение локального минимума:$g(b) = ab + \sqrt{b-b} = ab$.

Ответ: точка локального максимума $x=b-\frac{1}{4a^2}$, значение максимума $g_{max}=ab+\frac{1}{4a}$; точка локального минимума $x=b$, значение минимума $g_{min}=ab$.