Номер 4, страница 90, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

4. (1) Для каждой из следующих функций определите критические точки. Из всех найденных критических точек выделите точки экстремума. В каждой из точек экстремума найдите значение функции:

a) $f(x) = 4x^3 - 6x^2 + 20x + 9;$

B) $g(x) = 4x^3 - 6x^2 + 18x + 9;$

б) $h(x) = 4x^3 - 6x^2 - 72x + 9.$

а) Для функции $f(x) = 4x^3 - 6x^2 + 20x + 9$

Критические точки функции – это точки из области определения, в которых производная равна нулю или не существует. Так как данная функция является многочленом, она дифференцируема на всей числовой прямой. Найдем ее производную:$f'(x) = (4x^3 - 6x^2 + 20x + 9)' = 12x^2 - 12x + 20$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:$12x^2 - 12x + 20 = 0$.

Разделим уравнение на 4 для упрощения:$3x^2 - 3x + 5 = 0$.

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения $D = b^2 - 4ac$:$D = (-3)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 9 - 60 = -51$.

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что производная $f'(x)$ никогда не равна нулю. Так как $f'(x) = 12x^2 - 12x + 20$ является параболой с ветвями вверх (коэффициент при $x^2$ положителен) и не имеет корней, то $f'(x) > 0$ для всех $x$. Следовательно, функция $f(x)$ монотонно возрастает на всей области определения.Таким образом, у функции нет критических точек и, соответственно, нет точек экстремума.
Ответ: у функции нет критических точек и точек экстремума.

в) Для функции $g(x) = 4x^3 - 6x^2 + 18x + 9$

Найдем производную функции:$g'(x) = (4x^3 - 6x^2 + 18x + 9)' = 12x^2 - 12x + 18$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:$12x^2 - 12x + 18 = 0$.

Разделим уравнение на 6:$2x^2 - 2x + 3 = 0$.

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения $D = b^2 - 4ac$:$D = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 4 - 24 = -20$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Производная $g'(x)$ никогда не равна нулю. Поскольку $g'(x) = 12x^2 - 12x + 18$ является параболой с ветвями вверх и не имеет корней, то $g'(x) > 0$ для всех $x$. Следовательно, функция $g(x)$ монотонно возрастает на всей области определения.Таким образом, у функции нет критических точек и, соответственно, нет точек экстремума.
Ответ: у функции нет критических точек и точек экстремума.

б) Для функции $h(x) = 4x^3 - 6x^2 - 72x + 9$

Найдем производную функции:$h'(x) = (4x^3 - 6x^2 - 72x + 9)' = 12x^2 - 12x - 72$.

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:$12x^2 - 12x - 72 = 0$.

Разделим уравнение на 12:$x^2 - x - 6 = 0$.

Решим квадратное уравнение. Его можно разложить на множители:$(x+2)(x-3) = 0$.Корни уравнения: $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$. Это и есть критические точки.

Чтобы определить, являются ли эти точки точками экстремума, исследуем знак производной $h'(x) = 12(x+2)(x-3)$ на интервалах, на которые критические точки разбивают числовую прямую: $(-\infty; -2)$, $(-2; 3)$ и $(3; +\infty)$.
- При $x \in (-\infty; -2)$, например $x=-3$, $h'(-3) = 12(-3+2)(-3-3) = 12(-1)(-6) > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (-2; 3)$, например $x=0$, $h'(0) = 12(0+2)(0-3) = 12(2)(-3) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (3; +\infty)$, например $x=4$, $h'(4) = 12(4+2)(4-3) = 12(6)(1) > 0$, функция возрастает.

Поскольку в точке $x = -2$ знак производной меняется с «+» на «–», это точка максимума.
Поскольку в точке $x = 3$ знак производной меняется с «–» на «+», это точка минимума.

Теперь найдем значения функции в этих точках экстремума.
Значение в точке максимума $x = -2$:$h(-2) = 4(-2)^3 - 6(-2)^2 - 72(-2) + 9 = 4(-8) - 6(4) + 144 + 9 = -32 - 24 + 144 + 9 = 97$.
Значение в точке минимума $x = 3$:$h(3) = 4(3)^3 - 6(3)^2 - 72(3) + 9 = 4(27) - 6(9) - 216 + 9 = 108 - 54 - 216 + 9 = -153$.
Ответ: критические точки: $x=-2$ и $x=3$. Точка максимума: $x=-2$, значение функции в ней $h(-2)=97$. Точка минимума: $x=3$, значение функции в ней $h(3)=-153$.