Номер 1, страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Всюду в данном наборе задач и далее при определении точек экстремума необходимо указывать, является ли данная точка экстремума точкой максимума или точкой минимума.

1. (1) На рисунке 3 изображен график функции $y=f(x)$, $D(f):(-7;7)$.

Рис. 3

а) Укажите все критические точки функции $f(x)$.

б) Укажите точки локальных экстремумов.

в) Решите неравенства $f'(x)\leq0, f'(x)<0, f'(x)\geq0, f'(x)>0$.

а) Критическими точками функции являются внутренние точки области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует.

Из графика видно, что касательная к графику функции горизонтальна (а значит, производная $f'(x)=0$) в точках локального максимума $x=-4$ и локального минимума $x=5$.

В точках $x=-2$ и $x=2$ график функции имеет изломы (острые пики), в таких точках производная не существует.

Таким образом, все критические точки функции на интервале $(-7; 7)$ — это $x=-4, x=-2, x=2, x=5$.

Ответ: $-4, -2, 2, 5$.

б) Точки локальных экстремумов — это точки, в которых производная меняет знак. Они находятся среди критических точек.

Проанализируем поведение функции в окрестности каждой критической точки:

1. В точке $x=-4$ возрастание функции сменяется убыванием, следовательно, $x=-4$ — точка локального максимума.

2. В точке $x=-2$ убывание функции сменяется возрастанием, следовательно, $x=-2$ — точка локального минимума.

3. В точке $x=2$ возрастание функции сменяется убыванием, следовательно, $x=2$ — точка локального максимума.

4. В точке $x=5$ убывание функции сменяется возрастанием, следовательно, $x=5$ — точка локального минимума.

Ответ: $x_{max}=-4$ (точка максимума), $x_{min}=-2$ (точка минимума), $x_{max}=2$ (точка максимума), $x_{min}=5$ (точка минимума).

в) Знак производной $f'(x)$ связан с монотонностью функции $f(x)$. Если функция возрастает, то $f'(x) > 0$. Если функция убывает, то $f'(x) < 0$.

Исходя из графика, определим промежутки монотонности функции:

• Функция возрастает на интервалах $(-7; -4)$, $(-2; 2)$ и $(5; 7)$.

• Функция убывает на интервалах $(-4; -2)$ и $(2; 5)$.

• Производная равна нулю в точках $x=-4$ и $x=5$.

• Производная не существует в точках $x=-2$ и $x=2$.

На основе этого решим неравенства:

• $f'(x) \le 0$: функция убывает или ее производная равна нулю. Это объединение интервалов $(-4; -2)$, $(2; 5)$ и точек $x=-4, x=5$.

• $f'(x) < 0$: функция строго убывает на интервалах $(-4; -2)$ и $(2; 5)$.

• $f'(x) \ge 0$: функция возрастает или ее производная равна нулю. Это объединение интервалов $(-7; -4)$, $(-2; 2)$, $(5; 7)$ и точек $x=-4, x=5$.

• $f'(x) > 0$: функция строго возрастает на интервалах $(-7; -4)$, $(-2; 2)$ и $(5; 7)$.

Ответ:
$f'(x) \le 0$ при $x \in [-4; -2) \cup (2; 5]$;
$f'(x) < 0$ при $x \in (-4; -2) \cup (2; 5)$;
$f'(x) \ge 0$ при $x \in (-7; -4] \cup (-2; 2) \cup [5; 7)$;
$f'(x) > 0$ при $x \in (-7; -4) \cup (-2; 2) \cup (5; 7)$.