Номер 22, страница 84, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

22. (3) Самолет летел сначала со скоростью $220 \text{ км/ч}$. Когда ему осталось лететь на $385 \text{ км}$ меньше, чем он пролетел, скорость его стала равной $330 \text{ км/ч}$. Средняя скорость самолета на всем пути $250 \text{ км/ч}$. Какое расстояние пролетел самолет?

Решение

Обозначим переменные:

• $S_1$ — расстояние, которое самолет пролетел на первом участке пути (в км).
• $v_1$ — скорость самолета на первом участке пути, $v_1 = 220$ км/ч.
• $t_1$ — время полета на первом участке (в часах).
• $S_2$ — расстояние, которое самолету осталось лететь (в км).
• $v_2$ — скорость самолета на втором участке пути, $v_2 = 330$ км/ч.
• $t_2$ — время полета на втором участке (в часах).
• $S_{общ}$ — общее расстояние полета (в км).
• $v_{ср}$ — средняя скорость на всем пути, $v_{ср} = 250$ км/ч.

По условию задачи, когда самолету осталось лететь на 385 км меньше, чем он пролетел, его скорость изменилась. Это означает, что расстояние второго участка ($S_2$) связано с расстоянием первого участка ($S_1$) следующим образом:

$S_2 = S_1 - 385$

Общее расстояние, которое пролетел самолет, равно сумме расстояний двух участков:

$S_{общ} = S_1 + S_2 = S_1 + (S_1 - 385) = 2S_1 - 385$

Время, затраченное на каждый участок, можно выразить через расстояние и скорость:

$t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{S_1}{220}$

$t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{S_1 - 385}{330}$

Средняя скорость вычисляется как отношение общего расстояния к общему времени:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_1 + t_2}$

Подставим известные значения и выражения в формулу средней скорости:

$250 = \frac{2S_1 - 385}{\frac{S_1}{220} + \frac{S_1 - 385}{330}}$

Теперь решим это уравнение относительно $S_1$. Сначала приведем знаменатель дроби в правой части к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 220 и 330 равно 660.

$\frac{S_1}{220} + \frac{S_1 - 385}{330} = \frac{3 \cdot S_1}{660} + \frac{2 \cdot (S_1 - 385)}{660} = \frac{3S_1 + 2S_1 - 770}{660} = \frac{5S_1 - 770}{660}$

Подставим упрощенный знаменатель обратно в уравнение:

$250 = \frac{2S_1 - 385}{\frac{5S_1 - 770}{660}}$

Избавимся от трехэтажной дроби:

$250 = \frac{660 \cdot (2S_1 - 385)}{5S_1 - 770}$

Умножим обе части на знаменатель $(5S_1 - 770)$:

$250 \cdot (5S_1 - 770) = 660 \cdot (2S_1 - 385)$

Разделим обе части уравнения на 10 для упрощения:

$25 \cdot (5S_1 - 770) = 66 \cdot (2S_1 - 385)$

Раскроем скобки:

$125S_1 - 19250 = 132S_1 - 25410$

Перенесем слагаемые с $S_1$ в одну сторону, а числовые значения в другую:

$25410 - 19250 = 132S_1 - 125S_1$

$6160 = 7S_1$

$S_1 = \frac{6160}{7} = 880$ км.

Мы нашли расстояние, которое самолет пролетел на первом участке. Теперь можем найти общее расстояние $S_{общ}$:

$S_{общ} = 2S_1 - 385 = 2 \cdot 880 - 385 = 1760 - 385 = 1375$ км.

Ответ: 1375 км.