Номер 6, страница 90, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

6. (2) Найдите значение функции $f(x)=x^3(x+3)^4$ в точке ее локального максимума.

Для того чтобы найти точку локального максимума функции $f(x) = x^3(x+3)^4$, необходимо найти ее производную и критические точки.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = (x^3)'(x+3)^4 + x^3((x+3)^4)'$

$f'(x) = 3x^2(x+3)^4 + x^3 \cdot 4(x+3)^3 \cdot (x+3)'$

$f'(x) = 3x^2(x+3)^4 + 4x^3(x+3)^3$

Для нахождения критических точек решим уравнение $f'(x) = 0$. Для этого вынесем общие множители $x^2(x+3)^3$ за скобку:

$f'(x) = x^2(x+3)^3[3(x+3) + 4x]$

Упростим выражение в квадратных скобках:

$f'(x) = x^2(x+3)^3(3x + 9 + 4x) = x^2(x+3)^3(7x+9)$

Теперь решим уравнение $f'(x) = 0$:

$x^2(x+3)^3(7x+9) = 0$

Критическими точками являются корни этого уравнения: $x_1 = -3$, $x_2 = -9/7$ и $x_3 = 0$.

Чтобы определить, какая из этих точек является точкой локального максимума, исследуем знаки производной $f'(x)$ на интервалах. Точка локального максимума — это точка, при переходе через которую производная меняет свой знак с плюса на минус.

1. На интервале $(-\infty; -3)$ производная $f'(x)$ положительна, так как множители $x^2$, $(x+3)^3$ и $(7x+9)$ имеют знаки $(+)$, $(-)$ и $(-)$ соответственно. Произведение: $(+)\cdot(-)\cdot(-)=(+)$. Функция возрастает.

2. На интервале $(-3; -9/7)$ производная $f'(x)$ отрицательна, так как множители имеют знаки $(+)$, $(+)$ и $(-)$. Произведение: $(+)\cdot(+)\cdot(-)=(-)$. Функция убывает.

Поскольку при переходе через точку $x=-3$ знак производной меняется с «+» на «−», точка $x=-3$ является точкой локального максимума.

Для полноты анализа: при переходе через $x=-9/7$ знак производной меняется с «−» на «+», следовательно, это точка локального минимума. При переходе через $x=0$ знак производной не меняется (из-за множителя $x^2$), поэтому в этой точке экстремума нет.

Итак, единственная точка локального максимума функции — это $x=-3$.

Вычислим значение функции $f(x)$ в этой точке:

$f(-3) = (-3)^3(-3+3)^4 = -27 \cdot 0^4 = 0$

Ответ: 0