Номер 3, страница 90, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

3. (2)

а) Дан квадратный трехчлен $y=8x^2+10x+3$. Найдите точку экстремума и значение трехчлена в точке экстремума.

б) Используя достаточный признак экстремума, докажите следующее утверждение: «Если $a>0$, то квадратный трехчлен $y=ax^2+bx+c$ принимает свое наименьшее значение в точке $x_0=-\frac{b}{2a}$. Наименьшее значение квадратного трехчлена равно $y_0=\frac{4ac-b^2}{4a}$»

4. (1) Для каждой из следующих функций определите критические точ-

а)

Дан квадратный трехчлен $y = 8x^2 + 10x + 3$. Точка экстремума для квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ — это вершина параболы. Абсцисса вершины (точка экстремума) находится по формуле:

$x_0 = -\frac{b}{2a}$

В нашем случае, коэффициенты $a = 8$, $b = 10$, $c = 3$. Подставим значения в формулу, чтобы найти точку экстремума:

$x_0 = -\frac{10}{2 \cdot 8} = -\frac{10}{16} = -\frac{5}{8}$

Теперь найдем значение трехчлена в этой точке (значение в точке экстремума), подставив $x_0 = -5/8$ в исходное уравнение:

$y_0 = y(x_0) = 8 \cdot (-\frac{5}{8})^2 + 10 \cdot (-\frac{5}{8}) + 3$

$y_0 = 8 \cdot \frac{25}{64} - \frac{50}{8} + 3 = \frac{25}{8} - \frac{50}{8} + \frac{24}{8} = \frac{25 - 50 + 24}{8} = -\frac{1}{8}$

Поскольку коэффициент $a = 8 > 0$, ветви параболы направлены вверх, следовательно, найденная точка является точкой минимума.

Ответ: точка экстремума $x_0 = -5/8$, значение трехчлена в точке экстремума $y_0 = -1/8$.

б)

Необходимо доказать утверждение: «Если $a > 0$, то квадратный трехчлен $y = ax^2 + bx + c$ принимает свое наименьшее значение в точке $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Наименьшее значение квадратного трехчлена равно $y_0 = \frac{4ac-b^2}{4a}$».

Для доказательства используем производные. Точки экстремума функции находятся среди ее стационарных точек, то есть точек, где первая производная равна нулю (необходимое условие экстремума).

1. Найдем первую производную функции $y(x) = ax^2 + bx + c$:

$y'(x) = (ax^2 + bx + c)' = 2ax + b$

2. Приравняем производную к нулю для нахождения стационарных точек:

$2ax + b = 0 \implies 2ax = -b \implies x_0 = -\frac{b}{2a}$

Мы нашли абсциссу единственной стационарной точки.

3. Теперь применим достаточный признак экстремума, который основан на знаке второй производной. Найдем вторую производную:

$y''(x) = (2ax + b)' = 2a$

4. По условию задачи $a > 0$. Следовательно, вторая производная $y'' = 2a$ всегда положительна. Согласно достаточному признаку экстремума, если в стационарной точке первая производная равна нулю, а вторая производная положительна ($y''(x_0) > 0$), то в этой точке функция имеет минимум.

Поскольку $y'' = 2a > 0$, в точке $x_0 = -\frac{b}{2a}$ функция достигает минимума. Так как это единственный экстремум функции, он является точкой, где функция принимает свое наименьшее значение.

5. Найдем это наименьшее значение $y_0$, подставив $x_0 = -\frac{b}{2a}$ в исходное выражение для $y$:

$y_0 = a(-\frac{b}{2a})^2 + b(-\frac{b}{2a}) + c = a(\frac{b^2}{4a^2}) - \frac{b^2}{2a} + c$

$y_0 = \frac{ab^2}{4a^2} - \frac{b^2}{2a} + c = \frac{b^2}{4a} - \frac{b^2}{2a} + c$

Приведем слагаемые к общему знаменателю $4a$:

$y_0 = \frac{b^2}{4a} - \frac{2b^2}{4a} + \frac{4ac}{4a} = \frac{b^2 - 2b^2 + 4ac}{4a} = \frac{4ac - b^2}{4a}$

Таким образом, мы доказали, что при $a > 0$ наименьшее значение квадратного трехчлена достигается в точке $x_0 = -\frac{b}{2a}$ и равно $y_0 = \frac{4ac-b^2}{4a}$.

Ответ: утверждение доказано.