Номер 5, страница 90, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

5. (2) Найдите точки экстремума функции $y = x^3 - 6x^2 - 9x + 1$ на интерва-ле $(- \frac{3}{5}; 5)$.

Для нахождения точек экстремума функции $y = x^3 - 6x^2 - 9x + 1$ на заданном интервале $(-\frac{3}{5}; 5)$, необходимо найти производную функции, приравнять ее к нулю для нахождения критических точек, а затем проверить, какие из этих точек принадлежат указанному интервалу.

1. Найдем производную функции:

$y' = (x^3 - 6x^2 - 9x + 1)' = 3x^2 - 12x - 9$.

2. Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:

$3x^2 - 12x - 9 = 0$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 3:

$x^2 - 4x - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта или формулы корней:

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{2}$

Так как $\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$, получаем:

$x = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 2 \pm \sqrt{7}$

Таким образом, критические точки функции: $x_1 = 2 - \sqrt{7}$ и $x_2 = 2 + \sqrt{7}$.

3. Проверим, принадлежат ли эти точки интервалу $(-\frac{3}{5}; 5)$, то есть $(-0.6; 5)$.

Оценим значение $\sqrt{7}$. Мы знаем, что $2^2=4$ и $3^2=9$, значит $2 < \sqrt{7} < 3$. Более точная оценка: $\sqrt{7} \approx 2.65$.

Для точки $x_1 = 2 - \sqrt{7} \approx 2 - 2.65 = -0.65$. Поскольку $-0.65 < -0.6$, точка $x_1$ не принадлежит заданному интервалу.

Для точки $x_2 = 2 + \sqrt{7} \approx 2 + 2.65 = 4.65$. Поскольку $-0.6 < 4.65 < 5$, точка $x_2$ принадлежит заданному интервалу.

4. Определим тип экстремума для точки $x = 2 + \sqrt{7}$. Для этого исследуем знак производной $y' = 3x^2 - 12x - 9$ слева и справа от этой точки внутри интервала $(-\frac{3}{5}; 5)$.

График производной $y' = 3(x - (2 - \sqrt{7}))(x - (2 + \sqrt{7}))$ — это парабола с ветвями вверх. Производная отрицательна между корнями и положительна вне этого промежутка.

На интервале $(-\frac{3}{5}; 2 + \sqrt{7})$ производная $y' < 0$ (так как этот интервал лежит между корнями $2-\sqrt{7}$ и $2+\sqrt{7}$), следовательно, функция убывает.

На интервале $(2 + \sqrt{7}; 5)$ производная $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.

Поскольку в точке $x = 2 + \sqrt{7}$ производная меняет знак с «–» на «+», эта точка является точкой минимума.

Ответ: точка экстремума на заданном интервале — это точка минимума $x = 2 + \sqrt{7}$.