Номер 21, страница 84, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

В клубе встретились 20 джентльменов. Некоторые пришли в шляпах, а некоторые – без шляпы. Время от времени один из джентльменов снимал шляпу и надевал ее на одного из тех, у кого в этот момент шляпы не было. В конце 10 джентльменов подсчитали, что любой из них отдавал шляпу больше, чем получал. Сколько джентльменов пришло в шляпах?

Давайте проанализируем условие задачи. Всего в клубе 20 джентльменов. Пусть для каждого $i$-го джентльмена $g_i$ — это количество раз, которое он отдал шляпу, а $p_i$ — количество раз, которое он получил шляпу.

Ключевой момент состоит в том, что каждая передача шляпы — это одно действие "отдал" и одно действие "получил". Следовательно, общее число всех "отдач" равно общему числу всех "получений" по всем джентльменам:

$ \sum_{i=1}^{20} g_i = \sum_{i=1}^{20} p_i $

Рассмотрим разность $d_i = g_i - p_i$ для каждого джентльмена. Эта величина показывает, на сколько больше раз джентльмен отдал шляпу, чем получил. Если мы просуммируем эти разности по всем джентльменам, то получим ноль:

$ \sum_{i=1}^{20} d_i = \sum_{i=1}^{20} (g_i - p_i) = \sum_{i=1}^{20} g_i - \sum_{i=1}^{20} p_i = 0 $

По условию, 10 джентльменов (назовем их группой А) отдали шляпу больше раз, чем получали. Для них $g_i > p_i$. Поскольку $g_i$ и $p_i$ — это целые числа, то для любого джентльмена из группы А разность $d_i = g_i - p_i \ge 1$.

Остальные 10 джентльменов образуют группу Б. Сумму всех разностей можно представить как сумму по двум группам:

$ \sum_{i \in A} d_i + \sum_{j \in B} d_j = 0 $

Поскольку для группы А (10 человек) минимальное значение $d_i$ равно 1, то сумма для этой группы $ \sum_{i \in A} d_i \ge 10 \times 1 = 10$.

Чтобы общая сумма была равна нулю, сумма для группы Б должна быть отрицательной: $ \sum_{j \in B} d_j = - \sum_{i \in A} d_i \le -10 $. Это означает, что для каждого джентльмена из группы Б $d_j = g_j - p_j < 0$, то есть они получали шляпу чаще, чем отдавали.

Теперь свяжем это с тем, были ли джентльмены в шляпах в начале. Пусть $H_{i, \text{нач}}$ — это статус наличия шляпы у $i$-го джентльмена в начале (1 — есть шляпа, 0 — нет), и $H_{i, \text{кон}}$ — статус в конце. Изменение статуса для $i$-го джентльмена равно количеству полученных шляп минус количество отданных:

$ H_{i, \text{кон}} - H_{i, \text{нач}} = p_i - g_i = -d_i $

Проанализируем обе группы:

1. Для группы А: $d_i \ge 1$. Тогда $H_{i, \text{кон}} - H_{i, \text{нач}} \le -1$. Так как статусы могут быть только 0 или 1, это равенство возможно только в одном случае: $H_{i, \text{нач}} = 1$ и $H_{i, \text{кон}} = 0$. Это значит, что все 10 джентльменов из группы А пришли в шляпах.

2. Для группы Б: $d_j < 0$, то есть $d_j \le -1$. Тогда $H_{j, \text{кон}} - H_{j, \text{нач}} \ge 1$. Это возможно только если $H_{j, \text{нач}} = 0$ и $H_{j, \text{кон}} = 1$. Это значит, что все 10 джентльменов из группы Б пришли без шляп.

Следовательно, количество джентльменов, которые пришли в шляпах, равно количеству джентльменов в группе А.

Ответ: 10